（2-13b）
42
过程设备设计
比较式（2-12）和式（2-13），
支座处(=0)： 和 不连续，
突变量为： 2gR2 3t sin 2 0
这个突变量，是由支座反力G引起的。
支座附近的球壳发生局部弯曲，以保持球壳应力与位移的 连续性。因此，支座处应力的计算，必须用有力矩理论进行分 析，而上述用无力矩理论计算得到的壳体薄膜应力，只有远离 支座处才与实际相符。
(仅受液压作用)
rm
M
T
G
-0
0
A
A
F
t R
A
过程设备设计
σ
σ
θ
图2-11 储存液体的圆球壳
任点 M 处的液体静压力为: p gR(1 cos)
40
过程设备设计
当 0 ： (支座A-A以上)
V 2 rm prdr 0
式(2-4)
gR 2
6t
(1 2 cos2 ) 1 cos
式(2-3)
2.1.1 载荷 载荷
压力
内压 外压
非压力载荷
整体载荷 局部载荷
重力载荷 风载荷 地震载荷 运输载荷 波动载荷
管系载荷
支座反力 吊装力
交变载荷
6
过程设备设计
2.1.2 载荷工况
正常操作工况
载荷工况
压力试验 特殊载荷工况
开停车及检修
紧急状态下快速启动 意外载荷工况
紧急状态下突然停车
7
过程设备设计
2.2 回转薄壳应力分析
过程设备设计
●无力矩理论的两个基本方程
微元平衡方程 区域平衡方程
24
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.4 无力矩理论的应用
◇分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力：
承受气体内压的回转薄壳 储存液体的回转薄壳
球形薄壳 薄壁圆筒 锥形壳体 椭球形壳体 圆筒形壳体
球形壳体
过程设备设计 25
过程设备设计
2.2.4 无力矩理论的应用
第二章 压力容器应力分析
CHAPTER 2 STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
1
载荷 压力容器
过程设备设计
应力、应变的变化
2
本章主要内容
●2.1 载荷分析 2.1.1 载荷 2.1.2 载荷工况
●2.2 回转薄壳应力分析
2.2.1 薄壳圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析
过程设备设计
球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等， 即R1=R2=R
将曲率半径代入式（2-5）和式（2-6）得：
pR 2t
结论:
a. pR 2t 受力均匀且小。 所以大型储罐制成球形较经济。
b.变形后仍为球形。
（2-7）
27
过程设备设计
B、薄壁圆筒
薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为
即顶点处为 pa ，赤道上为 - pa ，
t
t
恒是拉应力，在顶点处达最大值为
pa t
。
变形后为一般椭圆形封头
37
过程设备设计
2.2.4 无力矩理论的应用 二、储存液体的回转薄壳 与壳体受内压不同，壳壁上液柱静压力随液层深度变化。 a. 圆筒形壳体 (气+液)联合作用 P0
H
χ
A
t
R
图2-10 储存液体的圆筒形壳 38
③变形后为准锥形。
31
D、椭球形壳体
过程设备设计
图2-8 椭球壳体的应力
32
过程设备设计
推导思路： 椭圆曲线方程
式（2-5）（2-6）
R1和R2
,
pR2 2t
p 2t
a4
x2 (a2
b2 )
1 2
b
（2-10）
p 2t
a4
x2 (a2
b2 )
1 2
b
a4
2
a4
x2
(a 2
b2
)
过程设备设计
筒壁上任一点A承受的压力:
p p0 g x
由式（2-3）得
( p g x)R
0
t
(2-11a)
作垂直于回转轴的任一横截面，由上部壳体轴向力平衡得：
2Rt
R2 p 0
pR
0
2t
(2-11b)
思考：若支座位置不在底部，应分别计算支座上下的轴向 应力，如何求？
39
b. 球形壳体
微元体： a b c d
经线ab弧长： dl1 R1d
截线bd长： dl2 rd
微元体abdc的面积： dA R1rdd
压力载荷： p p()
微元截面上内力： N （= t ） 、 N （= t ）
过程设备设计 19
过程设备设计
o'
p
m
m'
K1 d
R2 R1 K2 a
c
b d
o a.
二、无力矩理论与有力矩理论
平行圆
N
过程设备设计
经线
a.
b.
c.
图2-4 壳中的内力分量
17
过程设备设计
二、无力矩理论与有力矩理论
内力
薄膜内力 Nφ、Nθ、Nφθ、Nθφ
横向剪力 Qφ、Qθ
弯曲内力
弯矩转矩 Mφ、Mθ、 Mφθ、Mθφ、
无力矩理论或 薄膜理论（静定）
有力矩理论或 弯曲理论 （静不定）
微体法线方向的力平衡
过程设备设计
tR2 sin dd tR1dd sin pR1R2 sin dd
p
R1 R2 t
（2-3）
■微元平衡方程。又称 拉普拉斯方程。
21
2.2.3 无力矩理论的基本方程
过程设备设计
三、区域平衡方程（图2-6）
o
D
m
o
m
dr p
dl
n
n
o
o
图2-6 部分容器静力平衡
gR 2
6t
(5 6 cos 2 cos2 ) 1 cos
（2-12a） （2-12b）
41
过程设备设计
当 0 ： (支座A-A以下)
V 2 rm prdr 4 R3 g
0
3
式(2-4) 式(2-3)
gR2
6t
2 cos2
(5
)
1 cos
（2-13a）
gR2
6t
(1 6cos 2cos2 ) 1 cos
一、承受气体内压的回转薄壳 回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生
的轴向力V为： V 2 rm prdr 0 rm2 p
由式（2-4）得：
V
2rmt cos
prm
2t cos
pR2 2t
（2-5）
将式（2-5）代入 式（2-3）得：
(2
R2 ) R1
（2-6）
26
A、球形壳体
过程设备设计
B点
内压P
轴向：经向应力或轴向应力σφ 圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr
σθ 、σφ >>σr
三向应力状态
二向应力状态
因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σφ和σθ(见图2-1)
10
3. 应力求解 截面法
t
过程设备设计
y
Di
p
p
x
(a)
(b)
图2-2 薄壁圆筒在压力作用下的力平衡
过程设备设计 3
本章主要内容
●2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施
●2.4 平板应力分析 2.4.1 概述
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
o'
K1
R1
d K2 R2
a
c
O1 r d b d
o
b.
o'
F1
d
o'
a.c
F2
d c.d
K1
d d
t
d
O1
d d
d
o
R1
b.d
F1 d
c.
o
a.b
F2
d
d.
o'
K1
d
2N在法线
上的分量
a(c)
2F2
O1
r b(d)
图2-5微元体的力平衡
o
e.
20
2.2.3 无力矩理论的基本方程 二、微元平衡方程（图2-5）
8
过程设备设计
2.2 回转薄壳应力分析
3.2.1 薄壳圆筒的应力
1. 基本假设：
a.壳体材料连续、均匀、各向同性； b.受载后的变形是弹性小变形； c.壳壁各层纤维在变形后互不挤压。
典型的薄壁圆筒如图2-1所示。
t A
B
Di
p
p
A
BDi D Do
图2-1 薄壁圆筒在内压作用下的应力
9
2. B点受力分析
又称胡金伯格方程 33
过程设备设计
pa/t
图2-9 椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律
34
过程设备设计
结论:
①椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。
在壳体顶R1点＝R处2＝（ax2＝0，y＝b）
b
pa2 2bt
在壳体赤R1＝道b处2/a（, xR＝2=aa，y＝ 0）p2at