几何综合题类型一图形背景变换问题1. 已知四边形ABCD是矩形，E为CD的中点，F是BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，过点M作MN⊥CM，交AD于点N.(1)如图①，当点F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)如图②，若ABBC＝EFBF＝2，求ANDN的值；(3)如图③，连接AN，若ABBC＝EFBF＝4，求tan∠AMN的值．第1题图(1)证明：∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCE＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∴CF＝BF，∴∠FBC＝∠FCB，∵BC＝CB，∴△MBC≌△ECB(ASA)，∴BM＝CE，∵CE＝DE，∴DE＝BM，∵AB＝CD，∴AB－BM＝CD－DE，即AM＝CE；(2)解：∵AB∥CD，∴△ECF∽△BMF，∴EFBF＝ECBM＝2，设BM＝a，则EC＝DE＝2a，∴AB＝CD＝4a，AM＝3a，∵ABBC＝2，∴BC＝AD＝2a，∵NM⊥CM，∴∠AMN＋∠CMB＝90°，∵∠AMN＋∠MNA＝90°，∴∠CMB ＝∠MNA ， 又∵∠A ＝∠CBM ＝90°， ∴△AMN ∽△BCM ， ∴AM BC ＝AN BM， ·∴3a 2a ＝AN a，∴AN ＝32a ，ND ＝2a －32a ＝12a ，∴AN ND ＝32a 12a ＝3； (3)解：∵AB ∥CD ， ∴△ECF ∽△BMF ， ∴EC BM ＝EFBF ＝4，设BM ＝b ，则EC ＝DE ＝4b ， ∴AB ＝CD ＝8b ，AM ＝7b ， ∵ABBC＝4， ∴BC ＝AD ＝2b ，如解图，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，则HN ＝BC ＝2b ，第1题解图易证△HMN ∽△BCM ， ∴HN BM ＝HM BC ，即2b b ＝HM 2b， ∴HM ＝4b ，∴在Rt △HMN 中，tan ∠AMN ＝HN HM ＝2b 4b.2. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，点P 是射线BC 上一点，连接AP 交菱形对角线BD 于点E ，连接EC .(1)求证：△ABE ≌△CBE ；(2)如图①，当点P 在线段BC 上时，且BP ＝2，求△PEC 的面积；(3)如图②，当点P 在线段BC 的延长线上时，若CE ⊥EP ，求线段BP 的长．第2题图(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2) 解：如解图①，连接AC 交BD 于点0，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，第2题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD .∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55， ∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45，∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ， ∴AH ＝4， ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝72， ∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ， ∴EF AH ＝PE AP， ∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE ×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，第2题解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ， ∴AD BP ＝DE BE， ∴5BP ＝535， ∴BP ＝15.3. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，连接BD ，点E 在直线BC 上，直线AE 交BD 于点M ，交直线DC 于点F ，G 是EF 的中点，连接CM 、CG .(1)如图①，当点E 在BC 边上时，求证：AM ＝CM ；(2)如图②，当点E 在BC 的延长线上时，求证：∠MCG ＝90°；(3)如图②，当点E 在BC 的延长线上时，若AB ＝1，且CM ＝CE ，求CE 的长．第3题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠CBM ，在△ABM 和△CBM 中，AB ＝CB ，∠ABM ＝∠CBM ，BM ＝BM ， ∴△ABM ≌△CBM (SAS)， ∴AM ＝CM ；(2)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠CBM ，∠BCD ＝90°， 由(1)同理可证△ABM ≌△CBM (SAS)， ∴∠BAM ＝∠BCM ， ∵∠ECF ＝90°，点G 是EF 的中点， ∴GC ＝GF ，∴∠GCF ＝∠GFC ， 又∵AB ∥DF ，∴∠BAM ＝∠DFM ＝∠GFC ， ∴∠BCM ＝∠GCF ，∴∠GCF ＋∠MCF ＝∠BCM ＋∠MCF ＝90°， 即∠MCG ＝90°；(3)解：由(2)知∠BAM ＝∠BCM ， ∵CM ＝CE ，∴∠CME ＝∠CEM ， ∴∠BCM ＝2∠CEM ， ∴∠BAE ＝2∠CEM ， ∵AB ⊥BE ，∴∠BAE ＋∠CEM ＝90°，即2∠CEM ＋∠CEM ＝90°， ∴∠CEM ＝30°， ∴在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan30°＝133＝3，∴CE ＝BE －BC ＝3－1.4. 已知四边形ABCD 是正方形，AB ＝6，将一个含30°的直角三角板BEF 放在正方形上，其中∠FBE ＝30°，∠BEF ＝90°，且BE ＝BC ，绕点B 转动△BEF .(1)如图①，当点F 落在AD 边上时，求∠EDC 的度数；(2)如图②，设EF 与AD 交于点M ，EF 的反向延长线交DC 于点G ，若AM ＝3，求CG 的长；(3)如图③，设EF 与AD 交于点N ，若tan ∠ECD ＝12，求ANDN 的值．第4题图解：(1)如解图①，连接EC ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，作EM ⊥CD 于点M ，则四边形EMCH 是矩形．第4题解图①∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∵BE ＝BC ， ∴AB ＝BE ，在Rt △BF A 和Rt △BFE 中，BF ＝BF ，BA ＝BE ∴Rt △BF A ≌Rt △BFE (HL)， ∴∠ABF ＝∠FBE ＝30°， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠EBC ＝30°， ∴EH ＝MC ＝12BE ＝12CD ，∴DM ＝CM ，∵EM ⊥CD ， ∴ED ＝EC ，∵∠BCE ＝12×(180°－30°)＝75°，∴∠EDC ＝∠ECD ＝90°－75°＝15°； (2)如解图②，连接BM 、BG .第4题解图②由(1)可知△BMA ≌△BME ，△BGE ≌△BGC ， ∴EM ＝DM ＝AM ＝3，EG ＝CG ，设EG ＝CG ＝x ，则DG ＝6－x ，MG ＝3＋x .在Rt △DMG 中，由勾股定理得MG 2＝DG 2＋DM 2，即(3＋x )2＝(6－x )2＋32，解得x ＝2，∴CG ＝2；(3)如解图③，延长FE 交CD 于点G ，连接BN ，BG ，第4题解图③易知AN ＝EN ，EG ＝CG ， ∵BE ＝BC ，∴BG 垂直平分CE ， ∴∠GBC ＋∠BCE ＝90°， ∵∠ECD ＋∠BCE ＝90°， ∴∠ECD ＝∠GBC ， ∴tan ∠GBC ＝tan ∠ECD ＝12，∴CG BC ＝12，即CG 6＝12， ∴CG ＝3， ∴DG ＝3，设AN ＝EN ＝y ，则DN ＝6－y ，NG ＝3＋y ，在Rt △DNG 中，由勾股定理得(6－y )2＋32＝(3＋y )2， 解得y ＝2，∴AN ＝EN ＝2，DN ＝4， ∴AN DN ＝12. 类型二 图形中的动点问题5. 正方形ABCD 的边长为6 cm ，点E 、M 分别是线段BD 、AD 上的动点，连接AE 并延长，交边BC 于F ，过M 作MN ⊥AF ，垂足为H ，交边AB 于点N .(1)如图①，若点M 与点D 重合，求证：AF ＝MN ；(2)如图②，若点M 从点D 出发，以1 cm/s 的速度沿DA 向点A 运动，同时点E 从点B 出发，以 2 cm/s 的速度沿BD 向点D 运动，运动时间为t s.①设BF ＝y cm.求y 关于t 的函数表达式； ②当BN ＝2AN 时，连接FN ，求FN 的长．第5题图(1)证明：∵AF ⊥MN ， ∴∠HAD ＋∠HDA ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°，∴∠BAF ＋∠F AD ＝90°， ∴∠BAF ＝∠ADN ，在Rt △ABF 和Rt △DAN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠NAD ＝∠FBA ＝90°，AD ＝AB ，∠BAF ＝∠ADN， ∴△BAF ≌△ADN ，∴AF ＝DN ，即AF ＝MN ；(2) 解：①如解图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，第5题解图∵点E 在BD 上以 2 cm/s 的速度向D 点移动，移动时间为t ， ∴BE ＝2t ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠CBD ＝45°， ∴BG ＝GE ＝t ， ∵GE ⊥BF ， ∴GE ∥AB ，∴△ABF ∽△EGF ， ∴AB GE ＝BF GF ， ∴AB GE ＝BF BF －BG， ∵AB ＝6 cm ，BF ＝y ， ∴6t ＝y y －t ， ∴y ＝6t 6－t；②∵BN ＝2AN ，BN ＋AN ＝AB ＝6 cm ， ∴AN ＝2 cm ，BN ＝4 cm.由(1)知∠AMN ＝∠BAC ，∠ABF ＝∠MAN ＝90°， ∴△AMN ∽△BAF ， ∴AM AB ＝AN BF， ∵DM ＝t ， ∴AM ＝6－t ，∵BF ＝6t6－t ，AB ＝6 cm ，AN ＝2 cm ，∴t ＝2，∴BF ＝3，在Rt △BNF 中，NF ＝BN 2＋BF 2＝5 cm.6. 如图①，点O 在线段AB 上，AO ＝2，OB ＝1，OC 为射线，且∠BOC ＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒．(1)当t ＝12秒时，则OP ＝________，S △ABP ＝________； (2)当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；(3)如图②，当AP ＝AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP ＝∠B ，求证：AQ ·BP ＝3.第6题图(1)解：1，334；【解法提示】第6题解图①因为动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，故当t ＝12秒时，OP ＝12×2＝1.如解图①，过点P 作△ABP 的高h ，由于∠BOC ＝60°，OP ＝1，故h ＝OP ·sin60°＝32，即S △ABP ＝12AB ·h ＝12(OA ＋OB )·h ＝12×(2＋1)×32＝334. (2)解：①∵∠A ＜∠BOC ＝60°，∴∠A 不可能为直角； ②如解图②，当∠B ＝90°时，第6题解图②∵∠BOC ＝60°，∴∠OPB ＝30°，∴OP ＝2OB ＝2，即2t ＝2， ∴t ＝1；③当∠APB ＝90°时，如解图③，作PD ⊥AB ，垂足为D ， 则∠ADP ＝∠PDB ＝90°.第6题解图③∵OP ＝2t ，∴OD ＝t ，PD ＝3t ，AD ＝2＋t ，BD ＝1－t ， ∴BP 2＝BD 2＋PD 2＝(1－t )2＋3t 2，AP 2＝AD 2＋PD 2＝(2＋t )2＋3t 2， ∵BP 2＋AP 2＝AB 2，∴(1－t )2＋3t 2＋(2＋t )2＋3t 2＝9，即4t 2＋t －2＝0， 解得t 1＝－1＋338，t 2＝－1－338(舍去)．综上所述，当△ABP 是直角三角形时，t 的值为1或－1＋338；(3)证明：∵AP ＝AB ，∴∠APB ＝∠B .如解图④，第6题解图④作OE ∥AP 交BP 于点E ， ∴∠OEB ＝∠APB ＝∠B ， ∵AQ ∥BP ，∴∠QAB ＋∠B ＝180°， 又∵∠3＋∠OEB ＝180°， ∴∠3＝∠QAB ，又∵∠AOC ＝∠2＋∠B ＝∠1＋∠QOP ，∠B ＝∠QOP ， ∴∠1＝∠2，∴△QAO ∽△OEP ， ∴AQ EO ＝AOEP，即AQ ·EP ＝EO ·AO ， ∵OE ∥AP ，∴△OBE ∽△ABP ， ∴OE AP ＝BE BP ＝BO BA ＝13，∴OE ＝13AP ＝1，BP ＝32EP ， ∴AQ ·BP ＝AQ ·32EP ＝32AO ·OE ＝32×2×1＝3.7. 在边长为22的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点(点P 与A 、C 不重合)．连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 的延长线与AD (或AD 延长线)交于点F .(1)连接CQ ，证明：CQ ＝AP ；(2)设AP ＝x ，CE ＝y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并求当x 为何值时，CE ＝38BC ； (3)猜想PF 与EQ 的数量关系，并证明你的结论．第7题图(1)证明：由题意知BP ＝BQ ，∠PBQ ＝90°， 在正方形ABCD 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠PBQ ，∴∠ABC －∠PBC ＝∠PBQ －∠PBC ，即∠ABP ＝∠CBQ ， 在△ABP 和△CBQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ∠ABP ＝∠CBQ BP ＝BQ，∴△ABP ≌△CBQ (SAS)，∴CQ ＝AP ；(2)解：在正方形ABCD 中，AC 为对角线， ∴∠BAP ＝∠PCE ＝45°，由旋转可知△PBQ 为等腰直角三角形， ∴∠BPQ ＝∠PQB ＝45°，在△ABP 中，∠BPC ＝∠BAP ＋∠ABP ＝45°＋∠ABP ， 又∵∠BPC ＝∠BPQ ＋∠CPE ＝45°＋∠CPE ， ∴∠ABP ＝∠CPE ， 又∵∠BAP ＝∠PCE ， ∴△BAP ∽△PCE ， ∴AB CP ＝AP CE， 在等腰直角△ABC 中，AB ＝22， ∴AC ＝4，又∵AP ＝x ，CE ＝y ，∴CP ＝4－x ， ∴224－x ＝x y，即y ＝－24x 2＋2x ，(0＜x ＜4)当CE ＝38BC 时，即CE ＝y ＝38×22＝324，∴324＝－24x 2＋2x ，解得x 1＝1，x 2＝3， ∴y ＝－24x 2＋2x (0＜x ＜4)，当x ＝1或3时，CE ＝38BC ； (3)解：猜想：PF ＝EQ .证明：①当点F 在线段AD 上时，如解图①，在CE 上取一点H ，使HQ ＝EQ ，则∠QEH ＝∠QHE ， 在正方形ABCD 中，∵AD ∥BC ，第7题解图①∴∠DFE ＝∠QEH ， ∴∠DFE ＝∠QHE ， ∴∠AFP ＝∠CHQ ，由(1)知△ABP ≌△CBQ ，AP ＝CQ ，∠BAP ＝∠BCQ ＝45°， ∴∠F AP ＝∠BAP ＝∠BCQ ＝45°， 在△AFP 和△CHQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F AP ＝∠HCQ ∠AFP ＝∠CHQ AP ＝CQ， ∴△AFP ≌△CHQ (AAS)，∴PF ＝HQ ， 又∵HQ ＝EQ ， ∴PF ＝EQ ；第7题解图②②当点F 在线段AD 延长线上时，如解图②，在BE 上取一点H ，使HQ ＝EQ ， 同理可证△AFP ≌△CHQ (AAS)，得FP ＝HQ ＝EQ .类型三 图形旋转、折叠问题8. 如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC ＝EC ，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN .(1)BE 与MN 的数量关系是________；(2)将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图②的位置，判断(1)中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；(3)若CB ＝6，CE ＝2，在将图①中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B 、E 、D 三点在一条直线上时，MN 的长度为________．第8题图解：(1)BE ＝2MN ；【解法提示】∵AM ＝ME ，AP ＝PB ， ∴PM ∥BE ，PM ＝12BE ，∵BN ＝DN ，AP ＝PB ，∴PN ∥AD ，PN ＝12AD ，∵AC ＝BC ，CD ＝CE ， ∴AD ＝BE ， ∴PM ＝PN ， ∵∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∵PM ∥BC ，PN ∥AC ， ∴PM ⊥PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形， ∴MN ＝2PM ， ∴MN ＝2·12BE ，∴BE ＝2MN . (2)成立．证明：如解图①，连接AD .延长BE 交AD 于点H .第8题解图①∵△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形．∴CD ＝CE ，CA ＝CB ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∵∠ACB －∠ACE ＝∠DCE －∠ACE ， ∴∠ACD ＝∠ECB . ∴△ECB ≌△DCA .∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC . ∵∠AHB ＝180°－(∠HAB ＋∠ABH ) ＝180°－(45°＋∠HAC ＋∠ABH ) ＝180°－(45°＋∠EBC ＋∠ABH ) ＝180°－90°＝90°， ∴BH ⊥AD .∵M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点， ∴PM ∥BE ，PM ＝12BE ，PN ∥AD ，PN ＝12AD .∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°. ∴BE ＝2PM ＝2×22MN ＝2MN ； (3)17－1，17＋1.【解法提示】①如解图②，作CG ⊥BD 于G ，则DG ＝CG ＝GE ＝ 2.第8题解图②当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中BG ＝BC 2－CG 2＝62－(2)2＝34， ∴BE ＝BG －GE ＝34－2，∴MN ＝22BE ＝17－1； ②如解图③，作CG ⊥BE 于G ，则CG ＝GE ＝DG ＝2，第8题解图③当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中， BG ＝BC 2－CG 2＝62－（2）2＝34. ∴BE ＝BG ＋GE ＝34＋2， ∴MN ＝22BE ＝17＋1. 9. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠得到△FBE ，且点F 落在矩形ABCD 的内部，连接AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设ADAE ＝n .(1)求证：AE ＝GE ；(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示ADAB 的值；(3)若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．第9题图(1)证明：由折叠性质得AE ＝FE ， ∴∠EAF ＝∠EF A . ∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°， ∴∠FGA ＝∠EFG ， ∴EG ＝EF ， ∴AE ＝GE ；(2)解：如解图①，当点F 落在AC 上时，设AE ＝a ，则AD ＝na ，第9题解图①由对称性得BE ⊥AF ， ∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°， ∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°， ∴∠ABE ＝∠DAC .又∵∠BAE ＝∠D ＝90°， ∴△ABE ∽△DAC ， ∴AB DA ＝AE DC. ∵AB ＝DC ， ∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2， ∵AB ＞0， ∴AB ＝na . ∴AD AB ＝na na＝n ； (3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n 4a ，如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .第9题解图②此时n4a ＝a ，∴n ＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上， ∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°. ①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上， 由(2)得AD AB ＝n ，即4AB AB＝n ，∴n ＝16.②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°.第9题解图③∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°， ∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE . ∵∠BAE ＝∠D ＝90°， ∴△ABE ∽△DGC ， ∴AB DG ＝AE DC. ∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ， ∴AB ·DC ＝DG ·AE ， 即(n4a )2＝(n －2)a ·a ， 解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．综上，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．类型四 面积问题10. 在边长为2的等边三角形ABC 中，P 是BC 边上任意一点，过点P 分别作PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，M 、N 分别为垂足．(1)求证：不论点P 在BC 边的何处时都有PM ＋PN 的长恰好等于三角形ABC 一边上的高； (2)当BP 的长为何值时，四边形AMPN 的面积最大，并求出最大值．第10题图(1)证明：如解图①，连接AP ，设等边三角形AB 边上的高为h .第10题解图①∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ，∴12AB ·PM ＋12AC ·PN ＝12AB ·h ， ∵AB ＝AC ， ∴PM ＋PN ＝h ，即PM ＋PN 的长恰好等于三角形ABC 一边上的高；【一题多解】证明：如解图②，过点B 作BD ⊥NP ，垂足为D ， 在Rt △BPM 中，∠MBP ＝60°，第10题解图②∴∠BPM ＝30°.在Rt △CNP 中，∠C ＝60°， ∴CPN ＝30°.∵∠BPD ＝∠CPN ＝30°， ∴∠BPD ＝∠BPM .在Rt △BPM 和Rt △BPD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BMP ＝∠BDP ∠BPM ＝∠BPD BP ＝BP， ∴△BPM ≌△BPD (AAS)， ∴PM ＝PD ，∴PM ＋PN ＝PD ＋PN ＝DN ， 过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，∴四边形BDNE 为矩形， ∴PM ＋PN ＝DN ＝BE ，即PM ＋PN 等于三角形ABC 一边上的高；(2)解：如解图①，设BP ＝x (0＜x ＜2)，那么PC ＝2－x ， 在Rt △BPM 中，∠B ＝60°， ∴BM ＝x 2，AM ＝2－x 2，PM ＝32x ，∴S △APM ＝12AM ·PM ＝12(2－x 2)·32x ＝32x －38x 2.在Rt △CNP 中，∠C ＝60°，∴CN ＝2－x 2，AN ＝2－2－x 2＝1＋x2，PN ＝3（2－x ）2，∴S △APN ＝12AN ·PN ＝12(1＋x 2)·3（2－x ）2＝32－38x 2，∴S 四边形AMPN ＝S △APM ＋S △APN ＝32x －38x 2＋32－38x 2＝－34x 2＋32x ＋32＝－34(x －1)2＋334， ∴当x ＝1时，四边形AMPN 的面积有最大值是334，即当BP ＝1时，四边形AMPN 的面积有最大值是334.11. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝m (m ＞4)，点P 是AB 边上的任意一点(不与点A 、B 重合)，连接PD ，过点P 作PQ ⊥PD ，交直线BC 于点Q .(1)当m ＝10时，是否存在点P 使得点Q 与点C 重合？若存在，求出此时AP 的长；若不存在，说明理由；(2)连接AC ，若PQ ∥AC ，求线段BQ 的长(用含m 的代数式表示)；(3)若△PQD 为等腰三角形，求以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围．第11题图解：(1)假设存在点P 使得点Q 与点C 重合． ∵PQ ⊥PD ， ∴∠DPC ＝90°，∴∠APD ＋∠BPC ＝90°， ∵∠APD ＋∠ADP ＝90°， ∴∠ADP ＝∠BPC ， 又∵∠B ＝∠A ＝90°， ∴△ADP ∽△BPC ， ∴AD PB ＝AP BC， ∴410－AP ＝AP4，解得AP ＝2或8.∴当m ＝10时，存在点P ，使得点Q 与点C 重合，此时AP 的长为2或8； (2)由(1)可知，当PQ ⊥PD 时，△ADP ∽△BPQ ， ∴AD BP ＝AP BQ ，即4BP ＝m －BP BQ ①； 当PQ ∥AC 时，△BPQ ∽△BAC ， ∴BQ BC ＝BP BA ，即BQ 4＝PBm②； 联立①、②，可得 BQ ＝4m 2－64m 2；(3)当△PQD 为等腰三角形时，DP ＝PQ ， 在△ADP 与△BPQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAP ＝∠PBQ ∠ADP ＝∠BPQ DP ＝PQ， ∴△ADP ≌△BPQ (AAS)， ∴AP ＝BQ ，AD ＝BP ＝4， ∵AB ＝m ，∴BQ ＝AP ＝m －4，①如解图①，当点Q 在线段BC 上时，第11题解图①S ＝S 矩形ABCD －S △ADP －S △BPQ ＝4m －2×12×(m －4)×4＝16，∵m ＞4且BQ ≤BC 即m －4≤4，解得4＜m ≤8. ②如解图②，点Q 在BC 延长线上时，第11题解图②S 四边形PCQD ＝S 梯形ADQB －S △ADP －S △PBC ＝12×(4＋m －4)×m －12×4×(m －4)－12×4×4＝12m 2－2m ，∵QB ＞BC ，∴m －4＞4，解得m ＞8， 综上，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧16（4＜m ≤8）12m 2－2m （m ＞8）12. 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A 、C 的坐标分别是A (0，2)和C (23，0)，点D 是对角线AC 上一动点(不与A 、C 重合)，连接BD ，作DE ⊥DB ，交x 轴于点E ，以线段DE 、DB 为邻边作矩形BDEF .(1)填空：点B 的坐标为________；(2)是否存在这样的点D ，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；(3)①求证：DE DB ＝33；②设AD ＝x ，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式(可利用①的结论)，并求出y 的最小值．第12题图解：(1)(23，2)；【解法提示】∵在矩形ABCO 中，A (0，2)和C (23，0)， ∴B (23，2)． (2)存在．理由如下，可分为以下几种情况：①如解图①， 当DE ＝CE ，点E 在线段OC 上时．第12题解图①∵在矩形ABCO 中，A (0，2)和C (23，0)， ∴OA ＝2，OC ＝23， ∴在Rt △OAC 中，tan ∠ACO ＝OA OC ＝33， ∴∠ACO ＝30°，∴∠CDE ＝∠DCE ＝30°， ∵DE ⊥BD ， ∴∠BDC ＝60°， ∵∠BCD ＝90°－∠ECD ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，CD ＝BD ＝BC ＝2，∵AC ＝OA 2＋OC 2＝4， ∴AD ＝AC －CD ＝4－2＝2;②如解图②，当CD ＝CE ，点E 在OC 的延长线上时．第12题解图②∵∠ACO ＝30°， ∴∠ACE ＝150°， ∵CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠CED ＝12(180°－∠ACE )＝15°，∵DE ⊥BD ， ∴∠BDE ＝90°， ∴∠ADB ＝180°－∠BDE －∠CDE ＝75°. ∵∠BAC ＝∠OCA ＝30°， ∴∠ABD ＝180°－∠ADB －∠BAC ＝75°， ∴∠ADB ＝∠ABD ，∴△ABD 是等腰三角形，∴AD ＝AB ＝OC ＝2 3.③若CD ＝DE ，则∠DEC ＝∠DCE ＝150°， ∴∠DEC >90°，不符合题意，舍去；综上所述，当△DEC 为等腰三角形时，AD 的值为2或23；(3)①证明：如解图③，过点D 分别作DG ⊥OC 于点G ，DH ⊥BC 于点H .第12题解图③∵∠EDG ＋∠EDH ＝∠BDH ＋∠EDH ＝90°， ∴∠EDG ＝∠BDH ， 又∠DGE ＝∠DHB ， ∴△EDG ∽△BDH, ∴DG DH ＝DE BD， ∵DH ＝CG ， ∴DG CG ＝tan ∠ACO ＝tan30°＝33， ∴DE DB ＝33； ②解：如解图④，过点D 作DI ⊥AB 于点I . ∵AD ＝x (0＜x ＜4),第12题解图④∴DI ＝x 2，AI ＝32x ，又∵AB ＝23， ∴BI ＝AB －AI ＝23－32x ， 在Rt △BDI 中，根据勾股定理得BD 2＝BI 2＋DI 2， ＝(23－32x )2＋x 24，由①得DE DB ＝33，∴y ＝BD ·DE ＝33BD 2＝33[x 24＋(23－32x )2]＝33[(x－3)2＋3]＝33(x－3)2＋3，∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为 3.。