指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式 (1)根式的概念(2).两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn;②a a nn =)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m naa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。

(2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数图象定义域 R 值域 (0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1(2) 当x>0时,0<y<1; x<0时, y>1(3)在(-∞,+∞)上就是增函数(3)在(-∞,+∞)上就是减函数注:如图所示,就是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还就是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log Na x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。

(2)对数形式 特点记法一般对数 底数为a 0,1a a >≠且 log N a常用对数 底数为10 lg N自然对数底数为eln N2(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1log 0a =,②log 1aa =,③log Na aN =,④log Na a N =。

(2)对数的重要公式:①换底公式:log log (,1,0)log N Na bbaa b N =>均为大于零且不等于; ②1log log ba ab =。

(3)对数的运算法则:如果0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M NMa a alog log log -=; ③)(log log R n M n M a na ∈=;④b mnb a na m log log =。

3、对数函数的图象与性质图象1a >01a <<性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)当x=1时,y=0即过定点(1,0) (4)当01x <<时,(,0)y ∈-∞; 当1x >时,(0,)y ∈+∞ (4)当1x >时,(,0)y ∈-∞; 当01x <<时,(0,)y ∈+∞ (5)在(0,+∞)上为增函数(5)在(0,+∞)上为减函数注:确定图中各函数的底数a,b,c,d 与1的大小关系提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b 、 4、反函数指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称。

(三)幂函数1、幂函数的定义形如y=x α(a ∈R)的函数称为幂函数,其中x 就是自变量,α为常数注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象注:在上图第一象限中如何确定y=x 3,y=x 2,y=x,12y x =,y=x -1方法:可画出x=x 0; 当x 0>1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x 3,y=x 2, y=x,12y x =, y=x -1; 当0<x 0<1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x -1,12y x = ,y=x, y=x 2,y=x 3 。

y=x y=x 2y=x 312y x =y=x -1定义域 R R R [0,+∞) {}|0x x R x ∈≠且值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {}|0y y R y ∈≠且奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性增x ∈[0,+∞)时,增; x ∈(,0]-∞时,减增增x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减定点(1,1)知识点1:指数幂的化简与求值 例1、(2007育才A)(1)计算:25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---;(2)化简:5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式:(2007执信A)化简下列各式(其中各字母均为正数):(1);)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--(2).)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯- 知识点2:指数函数的图象及应用例2、(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )31()21(=,下列五个关系式:①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b 、其中不可能成立的关系式有 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 变式:(2010华附A)若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x且)1≠a 的图象有两个公共点,则a 的取值范围就是_______、 知识点3:指数函数的性质例3、(2010省实B)已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+就是奇函数。

(Ⅰ)求b 的值;(Ⅱ)判断函数()f x 的单调性;(Ⅲ)若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围.变式:(2010东莞B)设a ＞0,f(x)=xx a a e e +就是R 上的偶函数、 (1)求a 的值;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上就是增函数、 知识点4:对数式的化简与求值例4、(2010云浮A)计算:(1))32(log 32-+(2)2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;(3)21lg 4932-34lg 8+lg 245、变式:(2010惠州A)化简求值、 (1)log 2487+log 212-21log 242-1;(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;(3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83)、 知识点5:对数函数的性质例5、(2011深圳A)对于01a <<,给出下列四个不等式: ①1log (1)log ();a a a a a +<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+;③111;aaaa++< ④111;aaaa++> 其中成立的就是( )(A)①与③(B)①与④(C)②与③(D)②与④变式:(2011韶关A)已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1,则log a bb b b a 1log ,log ,1的大小关系就是 ( )A 、log a bb b b a 1log log 1<< B 、b b b ba a 1log 1log log << C 、bb b a b a 1log 1log log << D 、b b b a a b log 1log 1log <<例6、(2010广州B)已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1),如果对于任意x ∈［3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a 的取值范围、 变式:(2010广雅B)已知函数f(x)=log 2(x 2-ax-a)在区间(-∞,1-3］上就是单调递减函数、求实数a 的取值范围、 知识点6:幂函数的图象及应用例7、(2009佛山B)已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上,点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，,在幂函数()g x 的图象上.问当x 为何值时有:(１)()()f x g x >;(２)()()f x g x =;(３)()()f x g x <.变式:(2009揭阳B)已知幂函数f(x)=x 322--m m(m ∈Z )为偶函数,且在区间(0,+∞)上就是单调减函数、(1)求函数f(x);(2)讨论F(x)=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性、四:方向预测、胜利在望 1.(A)函数41lg)(--=x xx f 的定义域为( ) A.(1,4) B.[1,4) C.(－∞,1)∪(4,＋∞) D.(－∞,1]∪(4,＋∞) 2、(A)以下四个数中的最大者就是( )(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23(B)设a>1,函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21则a=( ) (A)2 (B)2 (C)22 (D)44、(A)已知()f x 就是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则( )(A)a b c << (B)b a c << (C)c b a << (D)c a b <<5、(B)设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为( ) (A)(1,2)⋃(3,+∞) (B)(10,+∞)(C)(1,2)⋃ (10 ,+∞) (D)(1,2)6.(A)设2log 3P =,3log 2Q =,23log (log 2)R =,则( ) Ａ.R Q P <<Ｂ.P R Q <<Ｃ.Q R P << Ｄ.R P Q <<7.(A)已知c a b 212121log log log <<,则( )A.cab222>> B.c b a222>> C.a b c 222>> D.ba c 222>> 8.(B)下列函数中既就是奇函数,又就是区间[]1,1-上单调递减的就是( )(A)()sin f x x = (B) ()1f x x =-+(C) 1()()x x f x a a -=+ (D) 2()2xf x lnx-=+ 9、(A)函数y =:( )A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]10、(A)已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A,且点A 的横坐标为2,则k ( )A.41-B.41C.21-D.2111.(B)若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限,则一定有( ) A.010><<b a 且 B.01>>b a 且C.010<<<b a 且D.01<>b a 且12.(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值就是最小值的3倍,则a=( ) A 、42 B 、22 C 、41 D 、21 13、(A)已知0＜x ＜y ＜a ＜1,则有( )(A)0)(log <xy a (B)1)(log 0<<xy a (C)2)(log 1<<xy a (D)2)(log >xy a 14、(A)已知x x f 26log )(=,那么)8(f 等于( )(A)34 (B)8 (C)18 (D)21 15.(B)函数y ＝lg|x| ( )A.就是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增B.就是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递减C.就是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递增D.就是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递减16、(A)函数3)4lg(--=x x y 的定义域就是 ____________________________、17.(B)函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ,若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上,则11m n+的最小值为 . 18.(A)设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________19.(B)若函数f(x) =1222--+aax x的定义域为R,则a 的取值范围为___________、20.(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++=就是奇函数,则a = .21、(B)已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数)(x f 的定义域,并讨论它的奇偶性与单调性、参考答案:三:例题诠释,举一反三 例1、 解:(1)92,(2)2a 变式:解:(1)1, (2).4514545)(2323212331abab ab b a b a -=⋅-=⋅-=÷--- (3)110 例2、 解:B变式:解:)21,0(;例3、 解:(Ⅰ)1=b (Ⅱ)减函数。