第二讲Ⅰ 授课题目（不定积分）：§5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：凑微分法，变量代换法。
难点：凑微分法, 变量代换法。
Ⅳ 讲授内容： 一、 凑微分法利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。
但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。
来看下面几个例子。
例1 求dx x ⎰2cos这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。
解 因为x x 2cos 2)2(sin ='而x x 2cos )2sin 21(='，所以c x xdx +=⎰2sin 212cos 。
例2 求dx x ⎰)4sin(3解)4sin(3))4cos(43()4sin())4cos(41()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-⇔='-⇔-='按照等价命题 c x dx x +-=⎰)4cos(43)4sin(3例3 求dt t ⎰+12这样想：)(12+='t ，联想到 )(u ='，再想到u u u u u u ='⇔=='=')32(2323)()(323233如果12+=t u12))12(31(122)12(12))12(32(33+='+⇔+='+⋅+='+t t t t t t最后一个等式正是我们想要的。
利用等价命题，就可以得到c t dt t ++=+⎰3)12(3112。
在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。
这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ） 例4 求dx x x ⎰+212如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2x x g u u u f +===那么这个不定积分就可以看作⎰⎰'=+dx x g x g f dx x x )())((122如果F 是f 的反导数，根据链法则)())(())((x g x g f x g F dxd '=所以，将u 看作是 21x +， 由于 c u du u du u f +==⎰⎰2332)(就可以得到 c x dx x x ++=+⎰3222)1(3212还可以通过求导数来验证结果是正确的。
把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则或者 ⎰⎰=+=du u f c u F dx dxdu u f )()()(，例5 求⎰+dx xx 232dxdu u f dx du u F u F dx d )()()(='=解cx c u duuu xxdx xdx xx ++=+==++=+⎰⎰⎰32223221323132注意运算中的一个细节：)(22x d xdx =,知道这一点非常重要。
在凑微分的过程中，下面这些微分等式至关重要。
0),(1≠+=a b ax d a dx ；））（（221x a d xdx +=; ））（（3231x a d dx x +=； )2(1a x d dx x+=；)(ln 1x d dx x=； )(sin cos x d xdx =；)(xxe d dx e =；)(arctan 112x d dx x=+；)(arcsin 112x d dx x=-；它们就像建筑中的模块，在凑微分过程中起到重要作用。
可以总结一些常见的凑微分公式如下（表5.2）。
表5.2被积分表达式中含有 凑微分法)0(),(1≠+=a b ax d adx )0(),()(1)(≠++=+⎰⎰a b ax d b ax f adx b ax f）（221x d xdx =222)(21)(dx x f xdx x f ⎰⎰= ）（3231x d dx x =3323)(31)(dx x f dx x x f ⎰⎰=……)0)((11≠=-ααααx d dx x )0()(1)(1≠=⎰⎰-ααααααdx x f dx xx f)(ln 1x d dx x= )(ln )(ln 1)(ln x d x f dx xx f ⎰⎰=)(sin cos x d xdx = )(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f ⎰⎰=)(cos sin x d xdx -= )(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⎰⎰-= )(tan sec2x d xdx = )(tan )(tan sec)(tan 2x d x f xdx x f ⎰⎰= )(arctan 112x d dx x =+ x d x f dx x x f arctan )(arctan 11)(arctan 2⎰⎰=+)(arcsin 112x d dx x=- x d x f dx xx f arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2⎰⎰=-例6 求dx x ⎰2sin 解 因为2)2cos(1sin2x xdx -=所以c x x dx x x xdx +-=-=⎰⎰)2sin(4121)2cos 1(21sin2例7 求⎰dx x x )sin(2 解 因为)()sin(21)sin()222xd x dx x x =设u=x 2，所以c x c u udu du u dx x x +-=+-===⎰⎰⎰)cos(21)cos (21sin 21)sin(21)sin(22例8 求dx e x ⎰3 解 设u=3xc ec e du e du e dx exuuu x+=+===⎰⎰⎰33313131)21(一般地 c ea dx e axax +=⎰1例9 求 ⎰dx xe x 223 解 设u=2x 2,du=4xdx,⎰⎰⎰+===c edu e du edx xexuux22224343433二、 第二类换元法如果上述凑的方法行不通，而且被积函数中含有开方运算，这时就要“无中生有”了———引入新变量，将被积函数中的根号“去掉” 例10 求dx x ⎰+)1(21从被积表达式中难以看出怎样凑出 )())((x du x u f .可以做个变换2u x =或者u x =那么 udu dx 2=)(du uu d u dx x +=+=+1)1(21)1(21 ⎰⎰⎰⎰+-=+-+=+=+du udu uu du uudx x )111(1111)1(21⎰⎰++-=++-=+-=c x n x c u u duu du 111ln 111再看下面的例子。
例11 求⎰-dx x 21同样，从被积表达式中难以直接看出怎样凑出)())((x du x u f .但是，可以想到u u cos )(sin 12=-做个变换 x u u x arcsin sin ==或者 那么 udu dx cos =udu du u u u d u dx x 222cos ))(cos (cos )(sin sin11==-=-⎰⎰=-udu dx x 22cos 1 而 ⎰⎰⎰⎰+=+=udu du du uudu 2cos 212122cos 1cos 2c u u u ud u ++=+=⎰)2sin(4121)2(2cos 4121注意到x u arcsin =和 u u u cos sin 2)2sin(=c u u u c u u udu dx x ++=++==-⎰⎰cos sin 2121)2sin(4121cos 122=c xx x +-+2121arcsin 21例12 求⎰xdx 3sin注意到)cos )(cos1())(sin (sinsin 223x d x xdx x xdx --== cx x c x x x d x xdx ++-=+--=--=⎰⎰3322cos31cos )cos31(cos )cos ()cos1(sin这里用到了⎰+=c x x d cos cos （为什么？）一般地，对于正的奇数n ,⎰xdx nsin 和⎰xdx ncos 都采用类似的方法计算。
例13 求xdx ⎰4cos解 因为)12cos 22(cos41)22cos 1()(cos cos 22224++=+==x x xx x832cos 214cos 81)12cos 224cos 1(41++=+++=x x x x 所以c x x x c dx xdx xdx xdx +++=+++=⎰⎰⎰⎰832sin 414sin 321832cos 214cos 81cos 4一般地，对于正的偶数 xdx n n ⎰sin ,和 xdx n ⎰cos 都采用类似的方法计算。
Ⅴ 小结与提问：总结一下，利用凑微分法解题的要点是：根据被积函数的特点凑出中间变量)(x u u =及其微分形式，或者说，将被积表达式表示成 )())((x du x u f ，从而将积分化为推广的积分表的形式，即),()]([11),()](sin[),()]([2x du x u x du x u x du x u ⎰⎰⎰+α的形式。
应用这种方法 ，必须熟悉怎样将某些函数移进微分号内，这是微分运算的相反过程Ⅵ 课外作业：1. 填空，凑成微分形式：（1）)()(;)13(131)13(122d dx dx x =+=+（2）)()(ddedx xe xx==--22（3）)()(d d xdx xx =-=-22111 （4）)()(d d tgxdx xtgx ==1cos122. 回答下列问题：（1）⎰=+'dx x f )53( (2)=+'⎰dx x f x f 2)]([1)(3. 计算下列不定积分：（224P 3.（1）--（28））。