dx xh ( x, t ) dt
上述类型的模型适用于有巨大数量的种群生长情况，这 时可能是表示种群的密度，也可能是表示种群的生物量。 如果种群数目小 例如：Dixon和Cornwell（1970）描述的情形，研究一个岛上 的种群，大约600只糜和22只狼的动态，则上式所给出的模型 一般是不适用的。
原因： 微分方程的模型假定有连续的出生率和死亡率，而对于 小种群这个假设显然是不成立的。 Dixon和Cornwell发现在狼群中每年的出生率是1。这时描 述种群动态的自然模型是差分方程，给出的是种群从一代到 下一代的变化，因此，对于这类种群适当的模型是：
x(t 1) x(t ) g ( x, t )
1 1 ( ) dx rdt x kx
令x0是时间为零的种群数，积分得：
x k x0 ln( ) rt 1 x x0
或
x0 x e rt k x k x0
解得：
kx0 e rt x k x0 x0 e rt
x
k是种群增长的限制因素，对初始值小的种群 规模限定了上界，而对初始值大的种群则使其 规模下降。k本身是各种生活资源（例如，食 物、空间、阳光）的函数。
t
如果x0<k，则种群增长，当t→∞时渐近地趋于k，如果 x0>k，则种群减少，当t→∞时也渐近地趋于k。如果x0=k ， 则种群保持x=k，始终不变。
二、捕食者模型与竞争模型
（一）捕食者模型 捕食者方程:
dx 2 ax bx cxy dt dy ey c' xy dt
大致在某10天前, 营养面积百分比呈 直线增加，以后变 化越来越慢。总的 看大麦生长速度较 快。
三、反映物质在环境、生物体之间循环过程的模型
水生植物
y23 x2Βιβλιοθήκη y12 x3 z3食草动物
y21 z1
y31 x1 z2
水
式中： x1—水中磷的数量； x2—植物中磷的数量； x3—食草动物中磷的数量； z1—水中磷流入的速率； z2—水中磷流出的速率； z3—为食草动物中磷流出的速率； y12—植物从水中摄取磷的速率； y21—植物损失磷回到水中的速率； y23—食草动物从植物中摄取磷的速率； y31—食草动物损失磷回到水中的速率；
水生植物
y23=126 x2=1.4
dxi y =133 12 0 dt
食草动物
z3=81
x3=9
y21=7 z1=100
y31=4.5
x1=9.5
z2=19
水
平衡状态下，三个分系统对不同输入等级（Z1）的反应
z1
z2
z3
x1
x2
x3
y12
y21
y23
y31
25 100 400
9 19 39
16 81 361
大麦与燕麦 两种作物为 争取更大生 存空间而竞 争的模型
dx dt x (a bx cy) dy y (e gy fx) dt
式中： rb —大麦的相对空间 r0 —燕麦的相对空间 、 Gb G 0 —分别由大麦与燕麦相 对增长速度决定的系数
drb 2 G ( r r b b b rb r0 ) dt dr 0 G0 (r0 r02 rb r0 ) dt
dx1 dt z1 y 21 y 31 y12 z 2 dx2 y12 y 21 y 23 dt dx3 dt y 23 y 31 z 3
dx i （i=1,2,3）—水、水生植物和食草动物中含磷量的变化率。 dt
dxi 0（i=1,2,3）—三个分系统含磷量处在动平衡量状态 dt dx 如： 1 z1 y21 y31 y12 z2 100 7 45 133 19 0 dt
第一节 概 述
生态系统
自然界中的各种生物不是孤立地生存，它们总是结合成 生物群落而生存。生物群落和无机环境之间关系密切，互相 作用，进行着物质的能量的交换，这种生物群落和环境的综 合体，则叫生态系统。 如：农田生态系统、森林生态系统、草地生态系统、荒漠生 态系统、沼泽生态系统、
第二节 微分方程模型
4.5 9.5 19.5
0.9 1.4 2.4
4 9 19
40 133 468
4.5 7 12
36 126 456
20 45 95
dx kx dt
式中：g(x)=k，一个常数
设是在时间时的种群数，则
x ln kt x0
或
x x0 e kt
（三）逻辑斯蒂（Logistic）模型
假设
x dx x g ( x) r (1 ) 得出模型为： r x (1 ) k dt k
该模型模拟了下述的环境条件： 对于小的x，种群的表现如马尔萨斯模型表示的一样， 但对于大的x，物种的成员之间为了有限的生活资源而进行 相互间的竞争。 求解：
dx 式中： —食饵种群增长的变化率 dt
dy —捕食者种群增长的变化率 dt
c '、 e — 常数 a、 b、 c、
cxy —捕食者的捕食率
ey —捕食者死亡率
c' xy —捕食者的增长率
（二）竞争模型 竞争关系指两个种群相互竞争同一种食物。 洛特卡-弗尔泰尔（Lortka-Volterra）方程式：
式中：x(t)— 在第t代或适当时间单位时的种群数目 g(x,t)—比例函数 注意： 种群的动态可以通过高于一阶导数的函数性态来加以描 述。 x' ' G ( x, x' )
（二）马尔萨斯（Multhus）模型
前提 一个物种的生活资源没有任何限制，其总数按不变的速 率成倍地增长（“增长”就是出生数减去死亡数）。 生长方程
一、单种群增长模型
（一）广义模型 一般所作的假设是生长率在某种意义下与当时物种的数 目成正比例。这个比例“常数”可以依赖也可以不依赖于当 时物种的数目，它可能与时间有关也可能无关。 当模型与时间无关时：
dx xg ( x) dt
式中：x— 在t时刻物中的数量 g(x)— 比例函数
当模型与时间有关，假设比例函数为 h( x, t ) 时，则