函数与导数1.导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。

即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(002.导数的几何意义1.函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜 率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

2、利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？先求斜率k=)(0/x f ，再用)(00x x k y y -=-求出直线方程。

3.常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；特殊的，211()x x '=-，'=③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； 特殊的，x x e e =')(； ⑥a x x a ln 1)(log '=；特殊的，xx 1)(ln '= 。

4.导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2v v u v u vuv u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±考点一：导数的定义例1.已知：x x f x x f a x ∆-∆+=→∆)()(lim000， xx f x x f b x ∆-∆-=→∆)()(lim 000，x x f x x f c x ∆-∆+=→∆)()2(lim000， xx x f x x f d x ∆∆--∆+=→∆2)()(lim 000，0)()(limx x x f x f e x x --=→。

则e d c b a 、、、、有相等关系的是变式练习：若2)(0/=x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于：（ ）(A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2考点二：求函数的导数例2.求下列各函数的导数：（1）25sin x xx x y ++=；（2）)3)(2)(1(+++=x x x y ；（3）)4cos 21(2sin 2x x y --=； （4）xxy ++-=1111。

考点三：切线的方程，导数的几何意义例3. （2007全国）已知曲线2x y 3lnx 4=+的一条切线的斜率为27,则切点的横坐标为（ ）变式1、(2007海南宁夏)曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．294eB ．22eC ．2eD ．22e变式2、(2008全国)设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-变式3、曲线3y x x =-与直线2y x b =+相切，则实数b = 。

考点四：考查导数与单调性的关系知识点：利用导数判断函数单调性：1）)(0)(x f x f ⇒>'是增函数；2）)(0)(x f x f ⇒<'为减函数； 步骤：（1）求出函数的定义域（2）求()f x（3）解不等式()0f x ，得函数的增区间 解不等式()0f x ，得函数的减区间（三）已知单调区间求参数范围：)(x f 在某一区间递增0)(≥'⇒x f ，反之，0)(≤'⇒x f ； 例4：【导数与函数单调区间】判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）；32()23241f x x x x =+-+例5：函数()ln f x x x =的单调递增区间是＿＿＿＿． 1、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ）A ．)2,(-∞B ．(0,3)C ．(1,4)D ．),2(+∞2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）y=xf '(x)-111-1oy x变式练习：已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ， 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______；31-21-122-2oyx 1-21-122oy x 421-2oy x422-2oy x① ② ③ ④(2008福建)如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（）例6：已知函数b ax x x x f ++-=2331)(的图像在点))0(,0(f P 处的切线方程为23-=x y （1） 求)(x f 的解析式; （2）求)(x f 的单调区间。

考点五：考查导数与极值的关系知识点：利用导数求极值：（1）求出函数的定义域（2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）列表得极值。

（极值点左右的导数一正一负） xyO 图1xy OA xy OB xy OC yOD x例7. (2008全国) 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；变式：设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值，求a 、b 的值;变式：(2008广东)设R a ∈，若函数ax e y x +=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）A ．1-<a B. 1->a C. e a 1-> D. ea 1-<例8：设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（1）求b 、c 的值。

（2）求函数()g x 的极值。

变式：函数32()32f x x x =-+的极大值是___________；考点六：考查导数与最值的关系知识点：利用导数求最大值与最小值：（1）求出函数的定义域 （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根； （4）列表得极值。

（极值点左右的导数一正一负）（5）求区间端点值（如果有）；（6）极值与端点值中最大的即为最大值，最小的即为最小值。

例9. 函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）A ．5，15B ．5，4-C ．5，15-D ．5，16-变式：（2007江苏）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= .例10：（2011北京） 已知函数f(x)＝(x －k)e x .(1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．作业：1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ） 21<b 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．2D ．329．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿． 13．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．17. 已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.各地月考联考模拟分类汇编：导数【广东省六校2012届高三第二次联考文】7．曲线()ln f x x x x =+在点1x =处的切线方程为（ ）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+ 【答案】C【广东省揭阳市第二中学2012届高三下学期3月月考文】9．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题：①-2是函数()y f x =的极值点；②1是函数()y f x =的最小值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间（-2，2）上单调递增。