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1.3.1函数的单调性与导数教案

§1.3.1函数的单调性与导数【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。

【教学重点】利用导数判断函数单调性。

【教学难点】利用导数判断函数单调性。

【内容分析】以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1,x 2∈I ,且当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1,x 2∈I ,且当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。

在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。

【教学过程】 一、复习引入1. 常见函数的导数公式:0'=C ;1)'(-=n n nx x ;x x cos )'(sin =;x x sin )'(cos -=.2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±.法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=.法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 3.复合函数的导数:设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x ),函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u ),则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数,且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x ).4.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 5.对数函数的导数: x x )'(ln =e xx a a log 1)'(log =. 6.指数函数的导数:xx e e =)'(; a a a xx ln )'(=.二、讲解新课1. 函数的导数与函数的单调性的关系:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到:在区间(2,∞+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的y =f (x )=x 2-4x +3 切线的斜率 f ′(x )(2,+∞) 增函数 正 >0 (-∞,2)减函数负<0321f x () = x 2-4⋅x ()+3xOyB A值随着x 的增大而增大,即/y >0时,函数y=f(x) 在区间(2,∞+)内为增函数;在区间(∞-,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小,即/y<0时,函数y=f(x) 在区间(∞-,2)内为减函数定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内/y >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内/y <0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数f ′(x ).②令f ′(x )>0解不等式,得x 的范围就是递增区间。

③令f ′(x )<0解不等式,得x 的范围,就是递减区间。

三、讲解范例例1确定函数f (x )=x 2-2x +4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。

解:f ′(x )=(x 2-2x +4)′=2x -2. 令2x -2>0,解得x >1.∴当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )是增函数. 令2x -2<0,解得x <1.∴当x ∈(-∞,1)时,f ′(x )<0,f (x )是减函数.例2确定函数f (x )=2x 3-6x 2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数 解:f ′(x )=(2x 3-6x 2+7)′=6x 2-12x令6x 2-12x >0,解得x >2或x <0∴当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )>0,f (x )是增函数. 当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )是增函数.令6x 2-12x <0,解得0<x <2.∴当x ∈(0,2)时,f ′(x )<0,f (x )是减函数.例3证明函数f (x )=x1在(0,+∞)上是减函数. 证法一:(用以前学的方法证) 证法二:(用导数方法证) ∵f ′(x )=(x 1)′=(-1)·x -2=-21x ,x >0,∴x 2>0,∴-21x<0. ∴f ′(x )<0, ∴f (x )=21x在(0,+∞)上是减函数。

点评:比较一下两种方法,用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数,用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。

例4求函数y =x 2(1-x )3的单调区间.解:y ′=[x 2(1-x )3]′=2x (1-x )3+x 2·3(1-x )2·(-1)=x (1-x )2[2(1-x )-3x ]=x (1-x )2·(2-5x )21f x () = x 2-2⋅x ()+4x O y 21f x () = 2⋅x 3-6⋅x 2()+7xO y令x (1-x )2(2-5x )>0,解得0<x <52. ∴y =x 2(1-x )3的单调增区间是(0,52) 令x (1-x )2(2-5x )<0,解得x <0或x >52且x ≠1. ∵1x =为拐点,∴y =x 2(1-x )3的单调减区间是(-∞,0),(52,+∞)例5当x >0时,证明不等式:1+2x <e 2x .分析:假设令f (x )=e 2x -1-2x .∵f (0)=e 0-1-0=0, 如果能够证明f (x )在(0,+∞)上是增函数,那么f (x )>0,则不等式就可以证明。

证明:令f (x )=e 2x -1-2x . ∴f ′(x )=2e 2x -2=2(e 2x-1)∵x >0,∴e 2x >e 0=1,∴2(e 2x-1)>0, 即f ′(x )>0∴f (x )=e 2x-1-2x 在(0,+∞)上是增函数。

∵f (0)=e 0-1-0=0.∴当x >0时,f (x )>f (0)=0,即e 2x-1-2x >0.∴1+2x <e 2x点评:所以以后要证明不等式时,可以利用函数的单调性进行证明,把特殊点找出来使函数的值为0。

例6已知函数y =x +x1,试讨论出此函数的单调区间。

解:y ′=(x +x1)′ =1-1·x -2=222)1)(1(1xx x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+>0. 解得x >1或x <-1. ∴y =x +x1的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). 令2)1)(1(x x x -+<0,解得-1<x <0或0<x <1.∴y =x +x1的单调减区间是(-1,0)和(0,1). 四、课堂练习1.确定下列函数的单调区间(1)y =x 3-9x 2+24x (2)y =x -x 3(1)解:y ′=(x 3-9x 2+24x )′=3x 2-18x +24=3(x -2)(x -4) 令3(x -2)(x -4)>0,解得x >4或x <2.∴y =x 3-9x 2+24x 的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2)令3(x -2)(x -4)<0,解得2<x <4.∴y =x 3-9x 2+24x 的单调减区间是(2,4)(2)解:y ′=(x -x 3)′=1-3x 2=-3(x 2-31)=-3(x +33)(x -33) 令-3(x +33)(x -33)>0,解得-33<x <33. ∴y =x -x 3的单调增区间是(-33,33). 令-3(x +33)(x -33)<0,解得x >33或x <-33. ∴y =x -x 3的单调减区间是(-∞,-33)和(33,+∞) 2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的单调区间. 解:y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b >0,解得x >-ab2 ∴y =ax 2+bx +c (a >0)的单调增区间是(-ab2,+∞) 令2ax +b <0,解得x <-ab 2. ∴y =ax 2+bx +c (a >0)的单调减区间是(-∞,-ab2)3.求下列函数的单调区间(1)y =xx 2+ (2)y =92-x x(3)y =x +x(1)解:y ′=(x x 2+)′=2222x x x x -=--∵当x ≠0时,-22x<0,∴y ′<0. ∴y =xx 2+的单调减区间是(-∞,0)与(0,+∞) (2)解:y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时,-222)9(9-+x x <0,∴y ′<0. ∴y =92-x x的单调减区间是(-∞,-3),(-3,3)与(3,+∞). (3)解:y ′=(x +x )′12112121+=+=-xx .当x >0时x21+1>0,∴y ′>0. ∴y =x +x 的单调增区间是(0,+∞).五、小结f (x )在某区间内可导,可以根据f ′(x )>0或f ′(x )<0求函数的单调区间,或判断函数的单调性,或证明不等式.以及当f ′(x )=0在某个区间上,那么f (x )在这个区间上是常数函数 六、课后作业。

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