2.洛夫林规范理论
Prange理论

Landau能级 三维电子气模型
H0 1 2m
2 2 2 e p x By p p c x y z
本征值E:
1 k E (n ) 2 2m eB mc
2
2 z
1.霍尔电导率 xy 出现与电子密度n无关的一定平 台 2.一定的平台是物理常数e2/h整数倍

参考文献
1.《量子霍尔效应》
陈颖健 科学文献出版社
1993 2.《整数量子霍尔效应的问题与解答》周荣 娟 2003 3.《量子霍尔效0 y0 Ag / B
洛夫林规范理论
当磁束Φ绝热改变φ时，体系回到原来的状态，总 的效果是n个电子的体系由y=0移到y=L,能量改变 为△U=neV 电流I E I S c

e2 I n V h
xy
e2 n nce / h
证明的结论
量子霍尔效应

冯·克利青从金属-氧化物半导体场效应晶体管 (MOSFET)发现了一种新的量 子霍尔效应他在硅MOSFET管 上加两个电极，再把这个硅 MOSFET管放到强磁场和极低 温下，发现霍耳电阻随栅压 变化的曲线上出现了一系列 平台，与这些平台相应的霍 耳电阻R=h/(ne2)，其中n是 正整数1，2，3„„。
冯· 克利青 Klaus von Klitzing（1943-）
量子霍尔效应
现象 1.霍尔电导率 出现与电子密度n无关的一定 xy 平台 2.一定的平台是物理常数e2/h整数倍 意义 1.半导体器件可以作为标准电阻 2.精确测定 e2/hc的值，从而测定精细结构常数


解释
1.Prange理论

g

周期性边界条件要求：
exp(ieAg L / c) exp(2i( / )) 1
c / e
Φ为磁通量子
洛夫林规范理论
1 e 2 2 系统哈密顿量： H [( p x By ) p y ] eE 0 y 2m c

本征能量：
1 1 cE 0 2 En (n ) eE 0 y0 m( ) 2 2 B
xy

m nec xx B
1 1 ( ) 2
电阻率
xy B / nec
Prange理论
考虑了杂质散射的影响，引入迁移率能隙的
概念和landau能级展宽
Prange理论
结论：
“ 局域态的存在不影响霍尔电流的强弱，当电 子的费米能级位于局域态时，扩展态的电子 输送额外的霍尔电流补偿那些本应由局域态 电子贡献的霍尔电流。”
Prange理论
Prange理论

电子运动方程
dv e 1 v ( E v B) dt m c

加入电场以后
m v x (eB / c)v y eEx / x m v y (eB / c)v x m vz 0

Prange理论

考虑杂质散射 ne2 xx
Prange理论

在扩展态时

在局域态时
洛夫林规范理论

考虑二维圆筒，圆筒周 长（x方向）为L，外加 磁场B处处垂直于圆筒 表面，假设圆筒中心存 在磁束Φ，体系哈密顿 量除由B外，还有磁束 Φ引起的Ag， Ag= Φ/L
洛夫林规范理论
考虑到规范变换 A A f ,f=- Agx 波函数变换 ( x, y) exp( ieA x / c) ( x, y)