单元测试(四) 圆(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D A B C D D B 1．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是(C)A．2.5 B．3 C．5 D．102．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于(D) A. 2 B. 3 C．2 3 D．2 23．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是(C) A．3 B．2.5 C．2 D．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC.若OB＝BC，则∠BAC等于(D)A．60°B．45°C．20°D．30°5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点．若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为(A) A．65°B．55°C．60°D．75°6．如图，用一个半径为30 cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r 为(B) A ．5 cmB ．10 cmC ．20 cmD ．5π cm7．如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD.若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为(C) A ．πB.32πC ．2πD ．3π8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，交BC 于E ，连接AE ，则下列结论中不一定正确的是(D) A ．AE ⊥BCB ．BE ＝ECC ．ED ＝ECD ．∠BAC ＝∠EDC9．如图，正方形ABCD 的边长为4，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 点作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积为(D) A ．12B ．24C ．8D ．610．如图，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O →C →D →O 的路线匀速运动．设∠APB ＝y(单位：度)，那么y 关于点P 运动的时间x(单位：秒)的函数图象大致是(B)二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4.若以点A 为圆心，以4为半径作⊙A ，则点A ，点B ，点C ，点D 四点中在⊙A 外的是点C ．12．正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是2．13．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心．若∠BAC ＝80°，则∠BOC ＝130°．14．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作OC ︵交AB ︵于点C.若OA ＝2，则阴影部分的面积为3－13π．15．如图，半圆O 的半径为2，E 是半圆上的一点，将E 点对折到直径AB 上(EE ′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB 至少有一个交点时，则折痕的长度取值范围是23≤CD ＜4．三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16．(8分)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形． ∵∠ACB ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB ＝BC ＝CA.∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.17．(9分)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.若AB ＝5，AC ＝3，求BC ，BD 的长．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝5，AC ＝3， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝52－32＝4.∵CD 平分∠ACB ，∴∠DCA ＝∠BCD.∴AD ︵＝BD ︵.∴AD ＝BD. ∴在Rt △ABD 中，2BD 2＝AB 2.∴BD ＝522.18．(9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(3，3)，C(4，2)． (1)请在图中作出经过A ，B ，C 三点的⊙M ，并写出圆心M 的坐标； (2)若D(1，4)，则直线BD 与⊙M 的位置关系是相切．解：如图所示，圆心M 的坐标为(2，1)．19．(9分)《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”(如图1)图1 图2阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图2)，其中BO ⊥CD 于点A ，问径就是要求⊙O 的直径．再次阅读后，发现AB ＝1寸，CD ＝10寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O 的直径． 解：连接CO.∵BO ⊥CD ，∴CA ＝12CD ＝5寸．设CO ＝OB ＝x 寸，则AO ＝(x －1)寸，在Rt △CAO 中，∠CAO ＝90°，∴AO 2＋CA 2＝CO 2.∴(x －1)2＋52＝x 2.解得x ＝13. ∴⊙O 的直径为26寸．20．(9分)如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C.(1)若∠ADE ＝25°，求∠C 的度数； (2)若AB ＝AC ，CE ＝2，求⊙O 半径的长．解：(1)连接OA.∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径， ∴OA ⊥AC ，即∠OAC ＝90°.∵∠ADE ＝25° ，∴∠AOE ＝2∠ADE ＝50°. ∴∠C ＝90°－∠AOE ＝90°－50°＝40°. (2)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∴∠AOC ＝2∠B ＝2∠C.∵∠OAC ＝90°，∴∠AOC ＋∠C ＝3∠C ＝90°. ∴∠C ＝30°.∴OA ＝12OC.设⊙O 的半径为r.∵CE ＝2, ∴r ＝12(r ＋2)．解得r ＝2.∴⊙O 的半径为2.21．(10分)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，OD ∥AC ，AD ＝OC. (1)求证：四边形OCAD 是平行四边形； (2)探究：①当∠B ＝30°时，四边形OCAD 是菱形；②当∠B 满足什么条件时，AD 与⊙O 相切？请说明理由．解：(1)证明：∵OA ＝OC ，AD ＝OC ， ∴OA ＝AD.∴∠OAC ＝∠OCA ，∠AOD ＝∠ADO. ∵OD ∥AC ， ∴∠OAC ＝∠AOD.∴∠OAC ＝∠OCA ＝∠AOD ＝∠ADO. ∴∠AOC ＝∠OAD. ∴OC ∥AD.∴四边形OCAD 是平行四边形． (2)②当∠B ＝45°时，AD 与⊙相切． 理由：∵∠B ＝45°，∴∠AOC ＝90°. 又由(1)知OC ∥AD ，∴∠OAD ＝∠AOC ＝90°. 又∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 与⊙O 相切．22．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N.劣弧MN ︵的长为65π，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.(1)求证：直线AB 与⊙O 相切；(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示) 解：(1)证明：作OD ⊥AB 于D ，∵劣弧MN ︵的长为65π，∴90π·OM 180＝6π5.解得OM ＝125.故⊙O 的半径为125.∵直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，当y ＝0时，x ＝3；当x ＝0时，y ＝4.∴A(3，0)，B(0，4)．∴OA ＝3，OB ＝4.∴AB ＝32＋42＝5. ∵S △AOB ＝12AB ·OD ＝12OA ·OB ，∴OD ＝OA ·OB AB ＝125.∴OD 是⊙O 的半径．∴直线AB 与⊙O 相切．(2)S 阴影＝S △AOB －S 扇形OMN ＝12×3×4－90π×（125）2360＝6－3625π.23．(11分)问题背景：如图1，在四边形ACBD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，AD ＝BD ，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路：将△BCD 绕点D 逆时针旋转90°到△AED 处，点B ，C 分别落在点A ，E 处(如图2)，易证点C ，A ，E 在同一条直线上，且△CDE 是等腰直角三角形，所以CE ＝2CD ，从而得出结论：AC ＋BC ＝2CD. 简单应用：(1)在图1中，若AC ＝2，BC ＝22，则CD ＝3；(2)如图3，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AD ︵＝BD ︵.若AB ＝13，BC ＝12，求CD 的长； (3)如图4，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，AD ＝BD ，若AC ＝m ，BC ＝n(m ＜n)，求CD 的长．(用含m ，n 的代数式表示)图1 图2 图3 图4 解：(2)连接AC ，BD ，AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°. ∴AC ＝AB 2－BC 2＝5. ∵AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD.将△BCD 绕点D 顺时针旋转90°到△AED ，则∠EAD ＝∠DBC. ∵∠DBC ＋∠DAC ＝180°，∴∠EAD ＋∠DAC ＝180°. ∴E ，A ，C 三点共线． ∵BC ＝AE ，∴CE ＝AE ＋AC ＝17.∵CD ＝ED ，∠CDE ＝90°，∴△EDC 是等腰直角三角形． ∴CD ＝22CE ＝1722. (3)以AB 为直径作⊙O ，连接DO 并延长交⊙O 于点D 1，连接D 1A ，D 1B ，D 1C ，如图．由(2)的证明可知：AC ＋BC ＝2D 1C ， ∴D 1C ＝2（m ＋n ）2. 又∵D 1D 是⊙O 的直径， ∴∠DCD 1＝90°. ∵AC ＝m ，BC ＝n ，∴由勾股定理可求得：AB 2＝m 2＋n 2. ∴D 1D 2＝AB 2＝m 2＋n 2. ∵D 1C 2＋CD 2＝D 1D 2，∴CD 2＝m 2＋n 2－（m ＋n ）22＝（m －n ）22.∵m ＜n ， ∴CD ＝2（n －m ）2.。