d m d l, xc 0
π
y c
y d l 0 Rsin Rd 2 R 2 2 R 2
m
m
m πR
yc 2R/ π •.
例 一质量 m1 的5人0kg站在一条质量为
，m2长度200kg
的船的l 船4头m上。开始时船静止，试求当人走到船尾时船移
动的距离。（假定水的阻力不计。）
zc z d m / M 线分布 d m dl
面分布 d m d S
体分布 d m dV
y
c
rc dm
r
O
x
z
.
y
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
c rc dm
r
O
x
刚体的质心相对自身位置确定不变。
z
质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。
xc mixi / M yc mi yi / M m1 rN
c ri
rc
zc mi zi / M r1
rc miri / M
r2 O
z
.
mi
m2 x
对于质量连续分布的物体
r
r
rrc
rdm dm
rdm
m
直角坐标系下
xc x d m / M yc y d m / M
.
三、 质心运动定理
n 设有一个质点系，由 个质点组成，它的质心
的位矢是：
rc
mi ri m1rm 1 i
m2 r2
mnrn
m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
.
质心的加速度为
ac
d vc dt
mi
d vi dt
mi
.
m1x1 m2x2 m1x1 m2x2
l-d
d
m1(x1 x1) m2 (x2 x2 )
d m1 l 0.8(m)
m1
y
m2
x1
x1
o x2 x2
cb cb d
x
.
§2－2 动量定理 动量守恒定律
牛顿第二定律描述了力 的瞬时效果 力作用一段时间后会产生什么效果？
一、冲量 恒力的冲
估算平均冲力
F
1
F
t2 t1
t2
t1
Fdt
mv2 t2
mv1 t1
F
t1
t2 t
4、仅适用于惯性系，v应相对于同一惯性系
.
例 动量定理解释了“逆风行舟”
前 进 方
0
风吹来
P0
P
向
I P
船
前 进 方 向
取一小块风dm为研究对象
初 末
P P 0 0ddm m
由牛顿第 三定律
I P
.
风对帆的冲量大小
mi ai mi
由牛mm顿12a第a12二定mm1律2dd得ddvtv1t2FF12f1f221 f1f323
f1n
f2
n
mn an
mn
d vn dt
Fn
fn2
fn3
f nn1
.
对于内力 f12 f21 0, , fin fni 0,
mi
ai
Fi
ac
miai mi
.
mv2
v ds t
mv1
dt
v1 2 (m s1)
o
Iv2mv22
(m mv1
s1) (mv)
mv2
I mv1 2 mv2 2 6
mv1
tg mv2 2
(mv)
mv2
mv1 2 5444
.
例2、一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力 大小为F=400-4105t/3，子弹从枪口射出时 的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚 好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所用 的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力的冲量 I。（3）子弹的质量。
ac
Fi mi
Fi
M
Fi
Mac
质心运 动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
.
例题 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R，求此半 圆形铁丝的质心。
解：建立如图坐标系。 任取一小段铁丝， 其长度为dl，质量 为dm，以λ表示铁丝 的线密度
I
dI
t2
Fdt
t1
其大小等于
F 冲力与时间的关系
图上面积S
F
S
0
t
t1 dt
t2
.
二、动量定理
F
d
t
d
p
I
t2
Fdt＝
t2
dP dt
t1
t1 dt
P2 P1
dP
P2
P1
I
t2
t1
Fdt
P2
P1
P
质点动量定理： 物体在运动过程中所受合外力的冲量，
等于该物体动量的增量。
作量用力F＝恒矢量,作 用时间t1 t2 力对质点的冲量 : I F(t2－t1)
.
变力的冲量
在时间t1t2间隔内，力F是变化的 求t1t2时间间隔内的总冲量
将区间t1t2分成无穷多小段；
取其中一小段dt, F 冲力与时间的关系
这一小段内力的冲量
F
dI Fdt
0
t
t1 dt
t2
.
t1t2的总冲量为上式的积分
.
§2-1 质点系的内力和外力 质心
质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力
f'
特点：成对出现；大小相等方向相反
f
结论：质点系的内力之和为零 fi 0
外力: 系统外部对质点系内部质点i 的作用力 质点系
F
约定：系统内任一质点受力之和写成
外力之和
Fi fi
内力之和
.
二、 质心
Y
质点系的质
量中心，简称
质心。具有长
度的量纲，描
述与质点系有
C
关的某一空间
点的位置。
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
.
对于N个质点组成的质点系：
m1,m2, ,mi ,mN r1, r2, , ri , rN
M mi
直角坐标系中
y mN
I P
方向与 P 相反
P F
t
例1、质量m=1kg的质点从o点开始沿半径R=2m的圆 周运动。以o点为自然坐标原点。已知质点的运动
方这段程时为间s 内 0质.5点 t所2 受m。合试外求力从的冲t1 量。2 s到 t2 2 s
解：
s1
1
2
2
2
s2
1 2
22
2
1
s1 R
2
mv1
2
s2 R
o
.
注意： I
t2 t1
Fdt
P2
P1
P
1、某方向上的冲量只改变该方向上的动量 而不改变与它垂直方向上的动量
I x
t2 t1
Fx dt
mv2 x
mv1x
I y mv2 y mv1y I z mv2z mv1z
2、方向 I与P的方向相同
与P1、P2及变力F的方向无关
.
3、对于碰撞、冲击等问题，可由作用效果
解：
y
本身设的质表cb心示船
x1
x1
o x2 x2
cb d
cb
x
.
当人站在船的左端时 当人站在船的右端时
对船和人这一系
x m1x1 m2 x2
c
m1 m2
x m1x1 m2x2
c
m1 m2
统，在水平方向上不 y
受外力，因而在水平 方向的质心不变。
x1
x1
xc xc
o x2 x2
cb d
cb
x