2012年高考真题理科数学函数与方程专题2012年高考真题理科数学解析分类汇编2 函数与方程一、选择题1.【2012高考重庆理7】已知)(x f是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f为]1,0[上的增函数”是“()f x为]4,3[上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】D【解析】因为)(x f为偶函数，所以当)(x f在]1,0[上是增函数，则)(x f在]0,1[-上则为减函数，又函数)(x f的周期是4，所以在区间]4,3[也为减函数.若)(x f在区间]4,3[为减函数，根据函数的周期可知)(x f在]0,1[-上则为减函数，又函数)(x f为偶函数，根据对称性可知，)(x f在]1,0[上是增函数，综上可知，“)(x f在]1,0[上是增函数”是“)(x f为区间]4,3[上的减函数”成立的充要条件，选D.2.【2012高考北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。

m值为（）【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1：因为函数22)(3-+=x x f x的导数为32ln 2)('2≥+=x x f x ，所以函数22)(3-+=x x f x单调递增，又(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x 在(0,1)内连续不断，故根据根的存在定理可知()f x 在正确.x=ln π，y=log 52，(C)z ＜y ＜x 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。

【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，eez 121==-，1121<<e，所以x z y <<，选D.6.【2012高考新课标理10】 已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）【答案】B【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。

要是函数图像与x 轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。

【解析】法1：因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。

而2()333()(1)f x x x x '=-=-+，当1x =±时取得极值由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=，即2c =±。

法2：排除法，因为22ln 1)2(<-=f ，排除A.02ln 12121ln 1)21(<=+=-e f ，排除C,D ，选B.7.【2012高考陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. 1y x =+B. 2y x =- C.1y x=D.||y x x =【答案】D.【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A 非奇非偶的增函数；B 是奇函数且是减函数；C 是奇函数且在)0,(-∞，),0(+∞上是减函数；D 中函数可化为⎩⎨⎧<-≥=0,0,22x x x x y 易知是奇函数且是增函数.故选D.8.【2012高考重庆理10】设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x yB x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π【答案】D【解析】法1：由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x ≤≥-+-≤，围成的面积相等 得：A B所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤，围成的面积既2122Rππ⨯=。

法2：由)1)((≥--xy x y 可知⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010x y x y 或者⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-010x y x y ，在同一坐标系中做出平面区域如图：，由图象可知B A 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为2π，选D. 9.【2012高考山东理3】设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a=在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若函数xa x f =)(在R 上为减函数，则有10<<a 。

函数3)2()(x a x g -=为增函数，则有02>-a ，所以2<a ，所以“函数xa x f =)(在R 上为减函数”是“函数3)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件，选A.10.【2012高考四川理3】函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是（ ）A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于0【答案】A. 【解析】29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩即为3,3()ln(2),3x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩，故其在3x =处的极限不存在，选A.[点评] 分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。

11.【2012高考四川理5】函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）【答案】D【解析】当1a >时单调递增，10a -<，故A 不正确； 因为1xy aa=-恒不过点(1,1)，所以B 不正确；当01a <<时单调递减，10a -<，故C 不正确 ；D 正确.[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用. 12.【2012高考山东理8】定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x=。

则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012 【答案】B【解析】由)()6(x f x f =+，可知函数的周期为6，所以1)3()3(-==-f f ，0)4()2(==-f f ，1)5()1(-==-f f ，0)6()0(==f f ，1)1(=f ，2)2(=f ，所以在一个周期内有1010121)6()2()1(=+-+-+=+++f f f ，所以33833351335)2()1()2012()2()1(=+=⨯++=+++f f f f f ，选B.13.【2012高考山东理9】函数cos622xxxy -=-的图像大致为【答案】D【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令0=y 得06cos =x ，所以ππk x +=26，ππ612k x +=，函数零点有无穷多个，排除C,且y 轴右侧第一个零点为)0,12(π，又函数xxy --=22为增函数，当120π<<x 时，022>-=-x xy ，06cos >x ，所以函数0226cos>-=-xxxy ，排除B ，选D.14.【2012高考山东理12】设函数21(),()(,,0)f xg x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A.当0a <时，12120,0x xy y +<+> B. 当0a <时，12120,0x xy y +>+<C. 当0a >时，12120,0x xy y +<+< D. 当0a >时，12120,0x xy y +>+>【答案】B【解析】法1：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0<a 时，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y yx x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，同理当0>a 时，则有0,02121>+<+y y xx ，故答案选B.法2：32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b=.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得3322b 不妨设12x x <，则32223xb =.所以231()()(2)F x x x x =-，比较系数得341x -=，故31122x =.3121202x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.法3:令bxaxx+=21，则)0(123≠+=x bx ax，设23)(bx axx F +=，bxax x F 23)(2+='令023)(2=+='bx axx F ，则abx 32-=，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需1)32()32()32(23=-+-=-abb a b a a b F ，整理得23274a b=，于是可取3,2=±=b a 来研究，当3,2==b a 时，13223=+x x，解得21,121=-=x x ，此时2,121=-=y y，此时0,02121>+<+y y x x；当3,2=-=b a 时，13223=+-x x，解得21,121-==x x ，此时2,121-==y y ，此时0,02121<+>+y y x x.答案应选B 。

法4：令)()(x g x f =可得bax x +=21。

设bax y xy +=''=',12不妨设21x x <，结合图形可知，当0>a 时如右图，此时21x x>，即021>>-x x，此时021<+x x，112211y x x y-=->=，即021>+y y；同理可由图形经过推理可得当<a 时,02121<+>+y y x x .答案应选B 。