高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i a b R∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10.设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>=L 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( .当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>=L 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b ===Λ21时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC V 外接圆 的半径，例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

例5 (证明不等式)设,121+>>>>n n a a a a K 求证:011111113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n Λ【同步训练】1.已知12,,,n a a a R +∈L ，求证：222212121()n n a a a a a a n+++≤+++L L2.已知,,,a b c d 是不全相等的正数，求证：2222a b c d ab bc cd da +++>+++3.已知222231,x y z x y z ++=++求的最小值.4.设12n ,x ,x R ,x +∈L 12n x x 1,x +++=L 且 求证：2221212x 11x 111n n x x x x n +++≥++++L5.已知实数,,,,a b c d e 满足8a b c d e ++++=, 2222216,a b c d e ++++= 求e 的取值范围.6.已知,,,x y z R +∈ 且1,x y z ++= 求证：14936x y z++≥7.已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥8.若n 是不小于2的正整数，试证：411111172342122n n <-+-++-<-L 。

参考答案:一般形式的柯西不等式： 设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b ===Λ2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便 地解决一些中学数学中的有关问题。

例1 解：由柯西不等式得，有 ()()2222111236236b c db c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2253a a -≥-解得，12a ≤≤==时等号成立， 代入111,,36b c d ===时， max 2a = 211,,33b c d ===时 min 1a =例2解：由柯西不等式，得()()()()222222286248624x y z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦①Q ()()()2222228624x y z⎡⎤++-++-⎣⎦()2964364144394=⨯++⨯=又()22862439x y y -+-=. ()()()()222222286248624x y z x y z ⎡⎤++-++-=-+-⎣⎦即不等式①中只有等号成立.从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624x y z==-- 它与862439x y y -+-=联立，可得613x =- 926y = 1813z =-例3证明：由柯西不等式得，+=≤记S 为ABC V 的面积，则2242abc abcax by cz S R R++===g≤=≤故不等式成立。

例4 证明：由柯西不等式，得()[]()[]11111222222=-+-+≤-+-b b a a a b b a当且仅当a b ab2211-=-时，上式取等号， ,1122b a ab -•-=∴ ()(),112222b ab a --=于是 122=+b a 。

例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：(),11111322111>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-•-++n n n a a a a a a a a Λ证明：为了运用柯西不等式，我们将11+-n a a 写成()()()1322111++-++-+-=-n n n a a a a a a a a Λ于是()()()[].111121322113221>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-•-++-+-++n a a a a a a a a a a a a n n n n ΛΛ 即(),1111111111132211322111++++->-++-+-∴>⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-•-n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛ故.011111113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n Λ我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

练习1．证：22222221212(111)()(111)n n a a a a a a ++++++≥⋅+⋅++⋅L L L ∴ 22221212()()n n n a a a a a a +++≥+++L L∴222212121()n na a a a a a n+++≤+++L L 2、2222222222222222222:()() (),,,,()() a a c d b c d a ab bc cd da a b c da b c d b c d aa b c d ab bc cd da b c d ab bc cd da++++++≥+++∴===∴+++>++++++>+++Q 证明是不全相等的正数不成立即3．2222222222222:()(123)(23)1114113,,12314714114x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++≥++=∴++≥=====++解当且仅当即时取最小值4、2221212221212122n n 2212:(1)()111 (1x 11)(11x )1x ()1n nn n x x x n x x x x x x x x x x x x +⋅++++++=++++++⋅+++++≥+++=+++=L L L L L 证明 5．22222222222222: 4(a ) (1111)() (a b c d)4(16)(8),6446416165160,05b c d a b c d e e e e ee e e +++=++++++≥+++-≥--≥-+∴-≥≤≤Q 解即即故6．2222:149149()()3611,,,,49632.x y z x y z x y zx y z x y z ++=++++≥======证法一用柯西不等式当且仅当即时等号成立:149149()()()494914()()()144612361112,3,,,,632x y z x y z x y z x y z x y zy x z x z yx y x z y zy x z x x y z ++=++++++++=++++++≥+++======证法二代入法当且仅当即时等号成立7．证明：利用柯西不等式()23131312222222222ab ca ab bc c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2333a b c a b c =++++ ()1a b c ++=Q又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++ 得：()()2223a b c a b c++≤++()()()22223332223a b c a b c a b c ++≤++•++Q故2223333a b c a b c ++++≥9、证明：证明：1111111111111(1)2()2342122342242n n n n-+-++-=+++++-+++-L L L 111122n n n=+++++L所以求证式等价于411171222n n n <+++<++L 由柯西不等式有2111()[(1)(2)2]122n n n n n n n++++++++>++L L 于是：2111241122(1)(2)273n n n n n n n n+++>=≥++++++++L L又由柯西不等式有111122n n n +++<++L2<==。