圆与方程
1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内
d ＜r ； b.点在圆上
d=r ； c.点在圆外
d ＞r
(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔
②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔
（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ （3）涉及最值：
① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+
② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+
思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）
3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
(1) 当042
2
>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭
⎫
⎝⎛--2,2E D C ，半径2
422F
E D r -+=
.
(2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫
⎝
⎛--
2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且
0422φAF E D -+.
4. 直线与圆的位置关系：
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；
3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0
2
2
F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解
的个数来判断：
（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；
5. 两圆的位置关系
（1）设两圆2
121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2
22
2222)()(:r b y a x C =-+-，
圆心距2
21221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；
④条公切线
内切1
2
1
⇔⇔
-
=
r
r
d；
⑤无公切线
内含⇔
⇔
-
<
<
2
1
0r
r
d；
外离外切相交内切
（2）两圆公共弦所在直线方程
圆
1
C：22
111
x y D x E y F
++++=，
圆
2
C：22
222
x y D x E y F
++++=，
则()()()
121212
D D x
E E y
F F
-+-+-=为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
①若
1
C与
2
C相切，则表示其中一条公切线方程；
②若
1
C与
2
C相离，则表示连心线的中垂线方程.
（3）圆系问题
过两圆
1
C：22
111
x y D x E y F
++++=和
2
C：22
222
x y D x E y F
++++=交点的圆系方程为()
2222
111222
x y D x E y F x y D x E y F
λ
+++++++++=（1
λ≠-）
补充：
①上述圆系不包括
2
C；
②2）当1
λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
③过直线0
Ax By C
++=与圆220
x y Dx Ey F
++++=交点的圆系方程为
()
220
x y Dx Ey F Ax By C
λ
+++++++=
6. 过一点作圆的切线的方程：
(1)过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
-
-
-
=
-
=
-
1
)
(
)
(
2
1
1
1
1
R
x
a
k
y
b
R
x
x
k
y
y
求解k ，得到切线方程【一定两解】
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x —a )2
+(y —b )2
=r 2
，圆上一点为(x 0，y 0)， 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2
特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+. 7．切点弦
(1)过⊙C ：2
22)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作⊙C 的两条切线，切点分别为B A 、，
则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--
8. 切线长：
若圆的方程为(x -a )
2
(y -b )2=r 2
，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为
d =22020b)(+)(r y a x ---．
9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。