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向量代数与空间解析几何教案

第八章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。

使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。

教学重点:1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点:1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容:一、向量的概念1.向量:既有大小,又有方向的量。

在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向。

在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。

2. 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。

3. 向量相等b a =:如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全重合的向量)。

4. 量的模:向量的大小,记为a。

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。

零向量的方向是任意的。

5. 量平行b a //:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。

零向量与如何向量都平行。

6. 负向量:大小相等但方向相反的向量,记为a - 二、向量的线性运算1.加减法c b a =+: 加法运算规律:平行四边形法则(有时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图7-42.c b a =- 即c b a =-+)(3.向量与数的乘法a λ:设λ是一个数,向量a 与λ的乘积a λ规定为0)1(>λ时,a λ与a 同向,||||a a λλ= 0)2(=λ时,0a =λ0)3(<λ时,a λ与a 反向,||||||a a λλ=其满足的运算规律有:结合率、分配率。

设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量,那么aa a 0=定理1:设向量a ≠0,那么,向量b 平行于a 的充分必要条件是:存在唯一的实数λ,使b =a λ例1:在平行四边形ABCD 中,设a =AB ,b =AD ,试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ,这里M 是平行四边形对角线的交点。

(见图7-5) 图7-4解:→→==+AM AC 2b a ,于是)(21b a +-=→MA 由于→→-=MA MC , 于是)(21b a +=→MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ,于是)(21a b -=→MD由于→→-=MD MB , 于是)(21a b --=→MB三、空间直角坐标系1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则。

即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向。

2. 间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:x 轴、y 轴、z 轴,坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。

坐标面以及卦限的划分如图7-2所示。

图7-1右手规则演示 图7-2空间直角坐标系图 图7-3空间两点21M M 的距离图3.空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。

通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。

注意:特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点;b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。

4.空间两点间的距离。

若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点, 则21M M 的距离(见图7-3),利用直角三角形勾股定理为:2222122212212NM pN p M NM N M M M d ++=+==而 121x x P M -=12y y PN -=122z z NM -=所以21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==特殊地:若两点分别为),,(z y x M ,)0,0,0(o222z y x oM d ++==例1:求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

证明: 14)21()13()74(222221=-+-+-=M M6)23()12()75(222232=-+-+-=M M6)13()32()45(222213=-+-+-=M M由于 1332M M M M =,原结论成立。

例2:设P 在x 轴上,它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍,求点P 的坐标。

解:因为P 在x 轴上,设P 点坐标为)0,0,(x ()113222221+=++=x x PP ()21122222+=+-+=x x PP212PP PP = 221122+=+∴x x 1±=⇒x所求点为:)0,0,1(,)0,0,1(-四、利用坐标系作向量的线性运算1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设a =21M M 是以),,(1111z y x M 为起点、),,(2222z y x M 为终点的向量,i 、j 、k分别表示 图7-5沿x ,y ,z 轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图7-5,并应用向量的加法规则知:)(1221x x M M -=i + )(12y y -j +)(12z z -k或a = a x i + a y j + a z k上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。

有序数组a x 、a y 、a z 与向量a 一一对应,向量a 在三条坐标轴上的投影a x 、a y 、a z 就叫做向量a 的坐标,并记为a = {a x ,a y ,a z }。

上式叫做向量a 的坐标表示式。

于是,起点为),,(1111z y x M 终点为),,(2222z y x M 的向量可以表示为},,{12121221z z y y x x M M ---=特别地,点),,(z y x M 对于原点O 的向径},,{z y x OM =注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量a 在坐标轴上的投影是三个数a x 、a y 、a z ,向量a 在坐标轴上的分向量是三个向量a x i 、 a y j 、 a z k . 2.向量运算的坐标表示 设},,{z y x a a a =a ,},,{z y x b b b =b 即k j i a z y x a a a ++=,k j i b z y x b b b ++=则(1) 加法: k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a +++++=+ ◆ 减法: k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a -+-+-=-◆ 乘数: k j i a )()()(z y x a a a λλλλ++= ◆ 或},,{z z y y x x b a b a b a +++=+b a},,{z z y y x x b a b a b a ---=-b a},,{z y x a a a λλλλ=a◆ 平行:若a ≠0时,向量a b //相当于a b λ=,即},,{},,{z y x z y x a a a b b b λ=也相当于向量的对应坐标成比例即zzy y x x a b a b a b == 五、向量的模、方向角、投影设},,{z y x a a a =a ,可以用它与三个坐标轴的夹角γβα、、(均大于等于0,小于等于π)来表示它的方向,称γβα、、为非零向量a 的方向角,见图7-6,其余弦表示形式γβαcos cos cos 、、称为方向余弦。

1. 模222z y x a a a ++=a2. 方向余弦由性质1知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====γγββααcos cos cos a a a a a a z y x ,当0222≠++=z y x a a a a 时,有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++==++==++==222222222cos cos cos z y x z z z y x y y z y x xx a a a a a a a a a a a a a a a a a a γβα ◆ 任意向量的方向余弦有性质:1cos cos cos 222=++γβα ◆ 与非零向量a 同方向的单位向量为:}cos ,cos ,{cos },,{1γβα===z y x a a a aaa a 0例:已知两点M 1(2,2,2)、M 2(1,3,0),计算向量21M M 的模、方向余弦、方向角以及与21M M 同向的单位向量。

解:21M M ={1-2,3-2,0-2}={-1,1,-2}2)2(1)1(222=-++-=21cos -=α,21cos =β,22cos -=γ 32πα=,3πβ=,43πγ= 设0a 为与21M M 同向的单位向量,由于}cos ,cos ,{cos γβα=0a即得}22,21,21{--=0a3. 向量在轴上的投影(1) 轴上有向线段的值:设有一轴u ,AB 是轴u 上的有向线段,如果数λ满足=λAB 与轴u 同向时λ是正的,当AB 与轴u 反向时λ是负的,那么数λ叫做轴u 上有向线段AB 的值,记做AB ,即AB =λ。

设e 是与u 轴同方向的单位向量,则e λ=AB(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有BC AB AC += (3) 两向量夹角的概念:设有两个非零向量a 和b ,任取空间一点O ,作a =OA ,b =OB ,规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角,记为),(b a ∧(4) 空间一点A 在轴u 上的投影:通过点A 作轴u 的垂直平面,该平面与轴u 的交点'A 叫做点A 在轴u 上的投影。

(5) 向量AB 在轴u 上的投影:设已知向量AB 的起点A 和终点B 在轴u 上的投影分别为点'A 和'B ,那么轴u 上的有向线段的值''B A 叫做向量AB 在轴u 上的投影,记做AB j u Pr 。

2.投影定理性质1:向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角ϕ的余弦:ϕPr AB j u =性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即2121a a a a j j j u Pr Pr )(Pr +=+性质3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。

即a a j j u Pr )(Pr λλ=小结:本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识,引导学生对向量(自由向量)有清楚的理解,并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算,空间直角坐标系(轴、面、卦限),空间两点间距离公式。

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