二次函数一、选择题：1.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（）A.直线3-=xB.直线3=x C.直线=x2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(ac b M 在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知二次函数c bx ax y ++=2，且0<a ，0>+-c b a ，则一定有（）A.042>-ac b B.042=-ac b C.042<-ac b D.ac b 42-≤04.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（）A.3=b ，7=cB.9-=b ，15-=cC.3=b ，3=cD.9-=b ，21=c 5.已知反比例函数xky =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（）x6.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）7.抛物线322+-=xxy的对称轴是直线（）A.2-=xB.2=xC.1-=xD.1=x8.二次函数2)1(2+-=xy的最小值是（）A.2-B.2C.1-D.19.二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，若cbaM++=24cbaN+-=，baP-=4，则（）A.0>M，0>N，0>PB.0<M，0>N，0>PC.0>M，0<N，0>PD.0<M，0>N，0<P二、填空题：10.将二次函数322+-=xxy配方成khxy+-=2)(的形式，则y=______________________.11.已知抛物线cbxaxy++=2与x轴有两个交点，那么一元二次方程02=++cbxax的根的情况是______________________.12.已知抛物线cxaxy++=2与x轴交点的横坐标为1-，则ca+=_________.13.请你写出函数2)1(+=xy与12+=xy具有的一个共同性质：_______________.14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线4=x；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.16.如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点的坐标是________________.三、解答题：1.已知函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当0>x 时，求使y ≥2的x 的取值范围.2.如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B .（1）求抛物线的解析式；（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标.3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？提高题1.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）.货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？2.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y （元）.（1）用含x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求y 与x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成ab ac a b x y 44)2(22-++=的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案一、选择题：题号123456789答案DDAADDDBD二、填空题：1.2)1(2+-=x y 2.有两个不相等的实数根 3.14.（1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5.358512+-=x x y 或358512-+-=x x y 或178712+-=x x y 或178712-+-=x x y 6.122++-=x x y 等（只须0<a ，0>c ）7.)0,32(-8.3=x ，51<<x ，1，4三、解答题：1.解：（1）∵函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2），∴2139=-+b .解得2-=b .∴函数解析式为122--=x x y .（2）当3=x 时，2=y .根据图象知当x ≥3时，y ≥2.∴当0>x 时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3.2.解：（1）由题意得051=++-n .∴4-=n .∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .（2）∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为)4,0(-.∴OA =1，OB =4.在Rt △OAB 中，1722=+=OB OA AB ，且点P 在y 轴正半轴上.①当PB =PA 时，17=PB .∴417-=-=OB PB OP .此时点P 的坐标为)417,0(-.②当PA =AB 时，OP =OB =4此时点P 的坐标为（0，4）.3.解：（1）设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++；5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a ∴t t s 2212-=.（2）把s =30代入t t s 2212-=，得.221302t t -=解得101=t ，62-=t （舍去）答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元.（3）把7=t 代入，得.5.10727212=⨯-⨯=s 把8=t 代入，得.16828212=⨯-⨯=s 5.55.1016=-.答：第8个月获利润5.5万元.4.解：（1）由于顶点在y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为1092+=ax y .因为点)0,25(-A 或)0,25(B 在抛物线上，所以10925(·02+-=a ，得12518-=a .因此所求函数解析式为109125182+-=x y （25-≤x ≤25）.（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以10912518209+-=，得245±=x .所以点D 的坐标为)209245(-，点E 的坐标为209,245(.所以225245(245=--=DE .因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.01100225≈=⨯⨯（米）.5.解：（1）∵AB =3，21x x <，∴312=-x x .由根与系数的关系有121=+x x .∴11-=x ，22=x .∴OA =1，OB =2，2·21-==amx x .∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ，∴1==OBOCOA OC .∴OC =2.∴2-=m ,1=a .∴此二次函数的解析式为22--=x x y .（2）在第一象限，抛物线上存在一点P ，使S △P AC =6.解法一：过点P 作直线MN ∥AC ，交x 轴于点M ，交y 轴于N ，连结PA 、PC 、MC 、NA .∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC =S △P AC =6.由（1）有OA =1，OC =2.∴6121221=⨯⨯=⨯⨯CN AM .∴AM =6，CN =12.∴M （5，0），N （0，10）.∴直线MN 的解析式为102+-=x y .由⎩⎨⎧--=+-=,2,1022x x y x y 得⎩⎨⎧==；4311y x ⎩⎨⎧=-=18,422y x （舍去）∴在第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △P AC =6.解法二：设AP 与y 轴交于点),0(m D （m >0）∴直线AP 的解析式为m mx y +=.⎩⎨⎧+=--=.,22m mx y x x y ∴02)1(2=--+-m x m x .∴1+=+m x x P A ，∴2+=m x P .又S △P AC =S △ADC +S △PDC =P x CD AO CD ·21·21+=)(21P x AO CD +.∴6)21)(2(21=+++m m ，0652=-+m m ∴6=m （舍去）或1=m .∴在第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △P AC =6.提高题1.解：（1）∵抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，∴方程02=++c bx x 有两个相等的实数根，即042=-c b .①又点A 的坐标为（2，0），∴024=++c b .②由①②得4-=b ，4=a .（2）由（1）得抛物线的解析式为442+-=x x y .当0=x 时，4=y .∴点B 的坐标为（0，4）.在Rt △OAB 中，OA =2，OB =4，得5222=+=OB OA AB .∴△OAB 的周长为5265241+=++.2.解：（1）76)34()10710710(1022++-=--⨯++-⨯=x x x x x S .当3)1(26=-⨯-=x 时，16)1(467)1(42=-⨯-⨯-⨯=最大S .∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.（2）用于投资的资金是13316=-万元.经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A 、B 、E 各一股，投入资金为13625=++（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；另一种是取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）.3.解：（1）设抛物线的解析式为2ax y =，桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米，则),5(h D -，)3,10(--h B .∴⎩⎨⎧--=-=.3100,25h a h a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,251h a ∴抛物线的解析式为2251x y -=.（2）水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提高到x 千米/时，当2801404=⨯+x 时，60=x .∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.4.解：（1）未出租的设备为10270-x 套，所有未出租设备的支出为)5402(-x 元.（2）54065101)5402(1027040(2++-=----=x x x x x y .∴540651012++-=x x y .（说明：此处不要写出x 的取值范围）（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.（4）5.11102)325(1015406510122+--=++-=x x x y .∴当325=x 时，y 有最大值11102.5.但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.二次函数测试题（B）一、选择题(每小题4分，共24分)1．抛物线y=－3x2＋2x－1的图象与坐标轴的交点情况是()(A)没有交点．(B)只有一个交点．(C)有且只有两个交点．(D)有且只有三个交点．2．已知直线y=x与二次函数y=ax2－2x－1图象的一个交点的横坐标为1，则a的值为()(A)2．(B)1．(C)3．(D)4．3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为()(A)6．(B)4．(C)3．(D)1．4．函数y=ax2＋bx＋c中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个函数图象与x轴的交点情况是()(A)没有交点．(B)有两个交点，都在x轴的正半轴．(C)有两个交点，都在x轴的负半轴．(D)一个在x轴的正半轴，另一个在x轴的负半轴．5．已知(2，5)、(4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是()(A)x=ab ．(B)x=2．(C)x=4．(D)x=3．6．已知函数y=ax2＋bx＋c的图象如图1所示，那么能正确反映函数y=ax＋b图象的只可能是()图1二、填空题(每小题4分，共24分)7．二次函数y=2x2－4x＋5的最小值是______．8．某二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)，(4，0)，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为______．9．若函数y =－x 2＋4的函数值y ＞0，则自变量x 的取值范围是______．10．某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：定价（元）100110120130140150销量（个）801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．11．函数y =ax 2－(a －3)x ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么a 的值和交点坐标分别为______．12．某涵洞是一抛物线形,它的截面如图3所示,现测得水面宽 1.6AB m ,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ,在图中的直角坐标系内,涵洞所在抛物线的解析式为________.三、解答题(本大题共52分)13．（本题8分）已知抛物线y =x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，求过A 、B 两点的直线的解析式．14．（本题8分）抛物线y =ax 2＋2ax ＋a 2＋2的一部分如图3所示，求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标．图315．（本题8分）如图4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点是C(0，1)，直线l：y＝－ax＋3与这条抛物线交于P、Q两点，且点P到x轴的距离为2．(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)求点Q的坐标．图416．（本题8分）工艺商场以每件155元购进一批工艺品．若按每件200元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17．(本题10分))杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y关于x的解析式；(2)求纯收益g关于x的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？18（本题10分）如图所示，图4-①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A 3B 3=50m，5根支柱A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、A 4B 4、A 5B 5之间的距离均为15m，B 1B 5∥A 1A 5，将抛物线放在图4-②所示的直角坐标系中．(1)直接写出图4-②中点B 1、B 3、B 5的坐标；(2)求图4-②中抛物线的函数表达式；(3)求图4-①中支柱A 2B 2、A 4B 4的长度．图4-①图4-②四、附加题（本题为探究题20分，不计入总分）19、(湘西自治州附加题，有改动)如图5，已知A (2，2)，B (3，0)．动点P (m ，0)在线段OB 上移动，过点P 作直线l 与x 轴垂直．(1)设△OAB 中位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与m 之间的函数关系式；(2)试问是否存在点P ，使直线l 平分△OAB 的面积？若有，求出点P 的坐标；若无，请说明理由．图5参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．D 5．D 6．B二、7．38．y =－x 2＋3x ＋49．－2＜x ＜210．13011．a =0，(13-，0)；a =1，(－1，0)；a =9，(13，0)12．2154y x =-三、13．抛物线的顶点为(1，－3)，点B 的坐标为(0，－2)．直线AB 的解析式为y =－x －214．依题意可知抛物线经过点(1，0)．于是a ＋2a ＋a 2＋2=0，解得a 1=－1，a 2=－2．当a =－1或a =－2时，求得抛物线与x 轴的另一交点坐标均为(－3，0)15．(1)依题意可知b =0，c =1，且当y =2时，ax 2＋1=2①，－ax ＋3=2②．由①、②解得a =1，x =1．故抛物线与直线的解析式分别为：y =x 2＋1，y =－x ＋3；(2)Q (－2，5)16．设降价x 元时，获得的利润为y 元．则依意可得y =(45－x )(100＋4x )=－4x 2＋80x ＋4500，即y =－4(x －10)2＋4900．故当x =10时，y 最大=4900(元)17．(1)将(1，2)和(2，6)代入y =ax 2＋bx ，求得a =b =1．故y =x 2＋x ；(2)g =33x －150－y ，即g =－x 2＋32x －150；(3)因y =－(x －16)2＋106，所以设施开放后第16个月，纯收益最大．令g =0，得－x 2＋32x －150=0．解得x x ≈16－10.3=5.7(舍去26.3)．当x =5时，g ＜0，当x =6时，g ＞0，故6个月后，能收回投资18．（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，；（2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=．130a =-∴．∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+．（3）4B ∵点的横坐标为15，4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=．3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=．由对称性知：224485(m)2A B A B ==．四、19．(1)当0≤m ≤2时，S =212m ；当2＜m ≤3时，S =12×3×2－12(3－m )(－2m ＋6)=－m 2＋6m －6．(2)若有这样的P 点，使直线l 平分△OAB 的面积，很显然0＜m ＜2．由于△OAB 的面积等于3，故当l 平分△OAB 面积时，S =32．21322m =∴．解得m P 点，使l 平分△OAB 的面积．且点P ，0)．。