自考04184线性代数讲义第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。

从考试大纲来看。

虽然只占13%左右。

但在其他章。

的试题中都有必须用到行列式计算的内容。

故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。

1.1 行列式的定义1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。

解:应用消元法得当时。

得同理得定义称为二阶行列式。

称为二阶行列式的值。

记为。

1于是由此可知。

若。

则二元一次方程组的解可表示为:例2二阶行列式的结果是一个数。

我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。

使得当后将消去。

得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。

在(6)，(7)的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。

2定义1.1.1 在三阶行列式中，称3于是原方程组的解为;类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

例3 计算例4 (1)(2)4例5 当x取何值时，,为将此结果推广到n元一次方程组。

需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。

1.1.2 阶行列式的定义定义1.1.2 当n时，一阶行列式就是一个数。

当时，称为n阶行列式。

定义(其所在的位置可记为的余子式5的代数余子式。

定义为该n阶行列式的值。

即。

容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关;类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。

n阶行列式为一个数。

例6 求出行列式第三列各元素的代数余子式。

例7 (上三角行列式)61.2 行列式按行(列)展开定理1.2.1(行列式按行(列)展开定理)例1 下三角行列式,主对角线元素的乘积。

例2 计算行列式例3 求n阶行列式7小结1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。

2.二阶行列式的定义。

3.阶行列式的定义。

即。

4.行列式按行(列)展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。

作业p8 习题1.1 1(1)(2)(3)(5)(6)，3作业 p11习题1.2 1，2，3(1)，(2)，41.3 行列式的性质及计算1.3.1 行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。

性质1 转置的行列式与原行列式相等。

即性质2 用数k乘行列式D的某一行(列)的每个元素所得的新行列式等于kD。

8推论1 若行列式中某一行(列)的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。

推论2 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则行列式的值为0。

性质3 行列式的两行(列)互换，行列式的值改变符号。

以二阶为例设推论3 若行列式某两行(列)，完全相同，则行列式的值为零。

证设中，第i行与第j行元素完全相同，则所以，D=0。

性质4 若行列式某两行(列)的对应元素成比例，则行列式的值为零。

9性质5 若行列式中某一行(列)元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即只要看注意性质中是指某一行(列)而不是每一行。

可见性质6 把行列式的某一行(列)的每个元素都乘以加到另一行(列)，所得的行列式的值不变。

证.1.3.2 行列式的计算10人们认识事物的基本方法是化未知为已知。

对行列式，先看何为已知，(1)二，三阶行列式的计算;(2)三角形行列式的计算。

因此，我们计算行列式的基本方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。

例1 计算在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质6。

例2 计算例3 计算11例4 计算例5 计算扩展12计算【答疑编号12010209】例6 计算【答疑编号12010301】方法1方法213扩展:计算【答疑编号12010302】例7 计算【答疑编号12010303】例8 计算【答疑编号12010304】14扩展:计算【答疑编号12010305】例9 计算n阶行列式【答疑编号12010306】解按第一列展开，得例10 范德蒙行列式……【答疑编号12010307】.【答疑编号12010308】例11 计算【答疑编号12010309】15例12 证明【答疑编号12010310】小结1.准确叙述行列式的性质;2.应用行列式的性质计算行列式的方法(1)低阶的数字行列式和简单的文字行列式;(2)各行元素之和为相同的值的情况(3)有一行(列)只有一个或两个非零元的情况作业 p22 习题1.3 1(1)(3)，2，5，6(1)(3)(4)(5)(10)(11)(12)1.4 克拉默法则这一节将把二元一次方程组解的公式推广到n个未知数，n个方程的线性方程组。

为此先介绍下面的定理。

定理1.4.1 对于n阶行列式16证由定理1.2.1知，注意改变第二列的元素，并不改变第二列元素的代数余子式类似地，可证明该定理的剩余部分。

定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式则方程组有惟一的解:其中证明从略例1.求解【答疑编号12010401】17把克拉默法则应用到下面的齐次方程组有定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D?0，则该方程组只有零解，没有非零解。

推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。

事实上，以后我们将证明对于由n个未知数n个方程的齐次方程组，系数行列式D=0，不仅是该齐次方程组有非零解的必要条件，也是充分条件,即若系数行列式D=0,则齐次方程组必有非零解。

例2 判断线性方程组是否只有零解【答疑编号12010402】18例3 当k为何值时，齐次方程组没有非零解,【答疑编号12010403】例4 问当取何值时,齐次方程组有非零解?【答疑编号12010404】191.定理1.4.1 对于，有2.n个未知数,n个方程的线性方程组的克拉默法则。

以及n个未知数, n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

作业 p28 习题1.4 1(1)(2)(3)3第一章小结基本概念1.行列式中元素的余子式和代数余子式。

2.行列式的定义基本公式1.行列式按一行(一列)展开的定理;2.行列式的性质;3.行列式中任一行(列)与另一行(列)的代数余子式乘积的和=0;4.克拉默法则5.n个未知数,n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式=0。

重点练习内容1.行列式中元素的余子式和代数余子式的计算;2.行列式的计算及重点例题(1)二、三阶行列式的计算;方法:利用行列式的性质降阶。

(2)各行元素之和为常数的情况(重点例题:1.3节中例5及其扩展);(3)特殊的高阶行列式。

第二部分矩阵20本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。

主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。

在自学考试中，所占比例是各章之最。

按考试大纲的规定，第二章占26分左右。

而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。

以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数 07.4 07.7 07.10直接考矩阵这一章的 26分左右 31分 34分 38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数 51分 53分 67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。

2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。

称数表为该线性方程组的系数矩阵;称数表为该线性方程组的增广矩阵。

事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵;反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。

例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】21例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。

注意:矩阵和行列式的区别。

二、几类特殊的矩阵221.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。

例如都是零矩阵。

2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。

若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。

3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。

如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。

4.称n阶方阵为n阶对角阵。

特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。

5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。

2.2 矩阵的运算这节介绍(1)矩阵运算的定义，特别要注意，矩阵运算有意义的充分必要条件;(2)矩阵运算的性质，要注意矩阵运算与数的运算性质的异同，重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。

2.2.1 矩阵的相等23为建立矩阵运算的概念，先说明什么叫两个矩阵相等。

定义2.2.1如果矩阵A，,的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵,与B 同型;若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。

请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等例如虽然行列式有但矩阵;;。

2.2.2 矩阵的加减法定义2.2.2 设A与B都是m×n阶矩阵(即A与B同型)，，则矩阵A与B可以相加(相减)，其和(差)定义为m×n阶矩阵例1设求A+B、A-B。

【答疑编号12020103】例2则A与B不能相加(减)，或说A?B无意义。

加法运算的性质设A，B，C都是m×n阶矩阵，O是m×n阶零矩阵，则1.交换律 A+B=B+A。

2.结合律 (A+B)+C=A+(B+C)。

3.负矩阵对于任意的m×n阶矩阵24定义，显然A+(-A)=O;A-B=A+(-B)。

2.2.3 数乘运算定义2.2.3 数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，定义为例3 设，求3A。

【答疑编号12020104】解例4 设，求3A-2B。

【答疑编号12020105】25例5 已知，求2A-3B。

【答疑编号12020106】数乘运算满足:1.1?A=A2.设k,l是数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A3.分配律 k(A+B)=Ka+kB;(k+l)A=kA+la例6 已知，且A+2X=B，求X。

2.2.4 矩阵的乘法先介绍矩阵乘法的定义，后面再介绍为什么这样定义乘法。

一、定义定义2.2.4 设矩阵，(注意:A的列数=B的行数)。

定义A与B的乘积为一个m×n阶矩阵，其中(i=1,2,……m,j=1,2, …n)26可见，矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数,B的行数，乘积矩阵C=AB的行数=A的行数;其列数=B的列数。

例如则A,B可以相乘，其乘积其中例7设矩阵【答疑编号12020201】27问BA有意义吗,无意义。