第三节 数列的极限西北师范大学数学与统计学院汪媛媛引言：极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”，有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想. 极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.分布图示★ 极限概念的引入 ★ 数列的定义★ 数列的极限 ★ 数列极限的严格定义★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 收敛数列的有界性★ 极限的唯一性 ★ 例9★ 子数列的收敛性 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-3 ★ 返回教学目的：1．理解极限的概念，了解极限的,N εεδ--定义； 2．会用极限的严格定义证明极限.； 3．了解极限的性质；教学重难点：理解掌握数列极限的概念 内容要点一、数列的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。
例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。
设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126-⨯n 边形的面积记为()N n A n ∈。
这样，就得到一系列内接正多边形的面积：.............321n A A A A 它们构成一列有次序的数。
当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确。
但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。
因此，设想无限增大（记为∞→n ，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。
这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）.............321 n A A A A 当∞→n 时的极限。
在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。
在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。
先说明数列的概念。
如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，…这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数..........321 n x x x x就叫做数列。
数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项。
例如：()()11123(1)(2)248223411111(3)(4)11112482114(5)223n n n n nn n n+-+--+-，，，，，；，，，，；，，，，，；，，，，，；，，，，，都是数列的例子，它们的一般项依次为()()n n n n n n n n 11112121-+-+-+，，，，。
以后，数列..........321 n x x x x也简记为数列{}n x 。
注：打印错误：L 等为省略号。
二、数列的极限如果数列，当无限增大时，数列的取值能无限接近常数，我们就称是当∞→n 时的极限，记作，l x n n =∞→lim它的解析1．定义：如果数列与常数有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于N n >时的一切，不等式ε<-a x n都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为，a x n n =∞→lim或 ()∞→→n a x n 。
如果数列没有极限，就说数列是发散的。
显然。
，11lim 01lim=+=∞→∞→n n nn nN -ε论证法，其论证步骤为：（1）对于任意给定的正数, 令 ε<-||a x n ； （2）由上式开始分析倒推, 推出 )(εϕ>n ； （3）取 )]([εϕ=N ，再用N -ε语言顺述结论.下面我们将学习数列极限的性质：三、极限的唯一性性质1（极限的唯一性） 数列{}n x 不能收敛于两个不同的极限。
四、收敛数列的有界性性质2（收敛数列的有界性） 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。
五、子数列的收敛性性质3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列{}n x 收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。
例题选讲例1 (E01)下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值.(1){}n 2; (2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1; (3){}1)1(+-n ; (4)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n 1.解 (1)数列{}n 2即为,...2,...,8,4,2n易见,当无限增大时, 也无限增大, 故该数列是发散的;(2)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1即为,...1,..,31,21,1n易见,当无限增大时,n1无限接近于0, 故该数列是收敛于0; (3)数列{}1)1(+-n 即为,....)1(,..,1,1,1,11+---n易见,当无限增大时,1)1(+-n 无休止地反复取1、-1两个数,而不会接近于任何一个确定的常数,故该数列是发散的;(4)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n 1即为, (1),...,43,32,21,0nn - 易见,当无限增大时,nn 1-无限接近于1, 故该数列是收敛于1. 例2 (E02) 证明.1)1(lim1=-+-∞→nn n n 证 由nn n x n n 11)1(|1|1=--+=--，故对任给,0>ε要使,|1|ε<-n x 只要,1ε<n 即.1ε>n 所以，若取,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN 则当N n >时，就有 .1)1(1ε<--+-nn n即 .1)1(lim1=-+-∞→nn n n 例3 设C x n ≡(为常数)，证明.lim C x n n =∞→证 因对任给,0>ε对于一切自然数恒有.0||||ε<=-=-C C C x n 所以，.l i m C x n n =∞→ 即：常数列的极限等于同一常数.注：用定义证数列极限存在时，关键是：对任意给定的,0>ε寻找但不必要求最小的 例4 证明,0lim =∞→nn q 其中.1||<q证 任给,0>ε若,0=q 则;00lim lim ==∞→∞→n nn q 若,1||0<<q 欲使,|||0|ε<=-n n q x必须,ln ||ln ε<q n 即,||ln ln q n ε>故对任给,0>ε若取,||ln ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=q N ε则当N n >时，就有 ,|0|ε<-n q 从而证得.0lim =∞→n n q例5 设,0>n x 且,0lim >=∞→a x n n 求证.lim a x n n =∞→证 任给,0>ε由 ,||||||aa x ax a x a x n n n n -<+-=-要使,||ε<-a x n 即要,||εa a x n <-∴=∞→,lim a x n n 对,00>=εεa ,0>∃N 当N n >时，,||εa a x n <-从而当N n >时，恒有,||ε<-a x n 故.lim a x n n =∞→例6 用数列极限定义证明 .323125lim-=-+∞→n n n证 由于),1(3917)31(317323125≥-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+n n n n n 只要,3917ε<-n 解得 .31917+>εn 因此，对任给的,0>ε取,31917⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=εN 则N n >时，ε<⎪⎭⎫⎝⎛---+323125n n 成立，即 .323125lim -=-+∞→n n n例7 (E03) 用数列极限定义证明 .112lim 22=++-∞→n n n n 证 由于)3(2131122222>=+<+++=-++-n n n n n n n n n n n ，要使,11222ε<-++-n n n 只要,2ε<n 即,2ε>n 因此，对任给的,0>ε取,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN 当N n >时，有 ,11222ε<-++-n n n 即.112lim 22=++-∞→n n n n 例8 (E04) 证明：若,lim A x n n =∞→则存在正整数当N n >时，不等式2||||A x n >成立.证 因,lim A x n n =∞→由数列极限的N -ε定义知，对任给的,0>ε存在,0>N 当N n >时，恒有,||ε<-A x n 由于|,|||||||A x A x n n -≤-故N n >时，恒有,||||||ε≤-A x n 从而有,||||||εε+<<-A x A n 由此可见，只要取,2||A =ε则当N n >时，恒有 2||||A x n >. 证毕. 例9 (E05) 证明数列1)1(+-=n n x 是发散的 证 设,lim a x n n =∞→由定义，对于,21=ε,0>∃N 使得当N n >时，恒有,21||<-a x n 即当N n >时，,21,21⎪⎭⎫⎝⎛+-∈a a x n 区间长度为1.而无休止地反复取1，－1两个数，不可能同时位于长度为1地区间. 因此改数列是发散的. 证毕.注：此例同时也表明：有界数列不一定收敛.课堂练习1．设,0>p 证明数列 pn n x 1= 的极限是0.。