平行
垂直
l1与l2
l1与1 1与 2
e1 e2 e1 n1 n1 n2
e1 e2 e1 n1 n1 n2
例题1:平面内的一条直线,如果它和一条斜线
在平面内的射影垂直,那么这条直线和这条
斜线也垂直 (三垂线定理)
已知:PA是平面 的斜线,A为斜足,PO⊥平
面 ,O为垂足, CD ,CD OA.
空间向量的应用(2)
----空间线面关系判定
温故知新:
(1)空间两条直线平行、垂直的判定. (2)空间直线和平面平行、垂直的判定. (3)空间两平面平行、垂直的判定. 怎样利用直线的方向向量来判定线面的位置关系?
设空间两条直线l1,l2的方向向量分别 e1, e2 ,两
个平面1, 2的法向量分别为 n1, n2,
D1 E
A1
(1)证明直线垂直于平面
内两条相交直线.
D
O
C1 B1 F
C
y
(2)证明直线的方向向量 和平面的法向量平行.
x
A
B
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,
CD的中点,求证:平面ADE⊥平面A1D1F
证明面面垂直: (1)证明线面垂直.
z
D1 A1
C1 B1
(2)证明两个平面的法向 量垂直.
C1 z
A1
B1 M
C Bx
A y
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,BC 的动点,且AE=BF,求证: A1F C1E
z
D1
C1
A1
B1
D
O
AE
x
C
Fy
B
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,
D1B1的中点,求证:EF⊥平面AB1Cz
证明线面垂直:
练习二：
1.正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是C1C,D1A1的中点. (1)求 AB, EF
(2)求点A到直线EF的距离(用向量方法)
D1 A1 F
C1 B1
E
D C
A
B
复习:
1.过点P(-2,3,1),一个方向向量为 a (2, 1,3)的 直线方程是________________.
(2)四棱锥P-ABCD的体积.
P
A B
D C
2.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,0,-1),则直线AB的一 个方_______________.
复习: 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,
AB (2, 1, 4), AD (4, 2, 0), AP (1, 2, 1). (1)求证: AP是平面ABCD的法向量;
求证:CD⊥PA
P
写出三垂线定理的 逆定理并加以证明
C
OA
D
l
例题2:如果一条直线和平面内的两条相交直 线垂直,那么这条直线和这个平面垂直. (线面垂直的判定定理)
已知: m , n , m n P,l m,l n
求证: l
l
mP n
g
3.已知直三棱柱ABC A1B1C1中,ACB＝90o , BAC＝30o BC 1, AA1 6,M是CC1的中点,求证: A1B AM
D
E C
OF
y
A
B
x
课堂小结：
1.基本知识：
平行
垂直
l1与l2
l1与1 1与 2
e1 e2 e1 n1 n1 n2
e1 e2 e1 n1 n1 n2
2.思想方法：
用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐 标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐 标运算法则进行计算或证明。
2.已知A(0, 2,3)、B( 2,1, 6),C(1, 1,5),用向量 方法求ABC的面积S.