空间向量的加法和减法
C
a b
O
+
A
b
B
a
OB = OA+ AB a + b CA = OA- OC a b
加法结合律： (a b) c a (b c)
O O
a
C
A
a b
A
+
c
C
b
∵ OC = OB + BC =(OA + AB)+ BC =(a + b)+ c,
5.规定，长度为 0的向量叫做零向量，记作0， 当有向线段的起点A与终点B重合时， AB = 0.
6. 模为1的向量叫做单位空间向量．
双基解读
7. 与向量a 长度相等的而方向相反的 向量称为a的相反向量，记作 - a .
8. 方向相同且模的相等的向量称为相等向量, 在空间，同向且等长的有向线段表示同一 向量或相等向量．
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
(2)空间中，首尾相接的若干向量若构成一个 封闭图形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
实数λ与空间向量a的乘积λ a仍是 一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ> 0时, λ a与向量a 的方向相同； 当λ< 0时, λ a与向量a 的方向相反．
空间向量的加减 与数乘运算
提出问题
如图，一块均匀正三角形钢板
的质量为500kg,在其顶点处分别 受力 F, F3, 每个力与同它相邻的 1 F 2,
三角形两边间的夹角都是60o， 且|F 1 |=|F 2 |=|F 3 |= 200kg,
钢板在这些力的作用下，将会
想一想：空间任意两个向量是否可能异面？
B A
b
O
如图，已知空间向量a， b,我们可以把它们 移到同一个平面α内，即可以以任意点O 为起点，作向量OA = a,OB = b.
a
结论
1.空间任意两个向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一平面内的两个向量． 2.空间任意两个向量都是共面向量，它们 可用用同一平面内的两条有向线段表示。 3.凡是涉及空间任意两个向量的问题， 平面向量中的有关结论仍适用于它们。
C B
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,G是AC1上 靠近点A的三等分点，M是CC1的中点， 化简下列各式，并标 D1 C1 出化简结果的向量。 A1 1 B1 (3) (AB + AD + AA 1 ) M 3 G 1 (4)AB + AD + CC1 D C 2 解 :(3) 由(2)得: A B 1 练习：P86 原式 AC = AG; 3 (4) 原式 = AB + AD + CM1 = AC + CM = AM
以上三个力是既有大小又 有方向的量，是不在同一
如何运动？这三个力至少为 平面内的向量，பைடு நூலகம்决这一 多大时，才能提起钢板？ 问题需要空间向量的知识．
复习回顾：平面向量 1、定 义: 既有大小又有方向的量， 叫做向量． 几何表示法:用有向线段表示. 字母表示法： 用小写字母表示，或用表示向 量的有向线段的起点和终点字母表示。 例如，如图中的向量可记为: AB , 或a 相等向量：长度相等且方向相同的向量
A1 B1
C1
D B
C
例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,G是AC1上 靠近点A的三等分点，M是CC1的中点， 化简下列各式，并标 D1 出化简结果的向量。 (1)AB + BC A1 B1 (2)AB + AD + AA 1
C1
D 解:(1) AB + BC AC; (2)AB + AD + AA 1 A = AC + AA 1 = AC + CC1 = AC1
B A
D
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
a b a
向量减法的三角形法则
ka ka
(k>0) (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b
ba a (b c)
加法结合律： ( a b) c 数乘分配律： k ( a b)
B
c
b
B
c
∴(a + b)+ c = a +(b + c)
又 OC = OA + AC = OA +(AB + BC)= a +(b + c) ，
注意
(1)空间中,首尾相接的若干向量之和,等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
a
λa
空间向量的数乘运算
λ a的长度是a 的长度的| λ |倍．
(λ >0)
λa
(λ <0)
空间向量的数乘运算满足分配律和结合律
分配律： λ (a + a +λ b b)=λ 结合律： λ ( a)=( ) a
共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在 的直线互相平行或重合, 则这些向量叫 做共线向量(或平行向量),记作： a //b . 零向量与任意向量共线. 自我探究：第85页 课堂练习：第86页
例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,G是AC1上 靠近点A的三等分点，M是CC1的中点， 化简下列各式，并标 D1 出化简结果的向量。
(1)AB + BC (2)AB + AD + AA 1 1 (3) (AB + AD + AA 1 ) 3 1 A (4)AB + AD + CC1 2
k a＋k b
双基解读
1.在空间，我们把具有大小和方向的量 叫做空间向量． 2.向量的大小叫做向量的长度或模． 3.与平面向量一样，空间向量也用有向线 段表示,有向线段的长度表示向量的模.
4.如图，设向量a的起点是A，终点是B， 则向量a也可 记 作AB， 其模记为|a|或|AB|．