空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)， 平行 b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_a_＝__λ_b__
线面 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的 平行 法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔____a_·u_＝_ 0
面面 平行
设，αb2，，βc的2)，法则向α量∥分β⇔别_为__u_＝_u_(a∥_1_，v_⇒_b_u1_，＝cλ1v)，v＝(a2
令 x＝1 得 y＝－12，z＝－12. 答案： 1ຫໍສະໝຸດ －12，－12数学 选修2-1
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4．如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互 相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1.
量 u＝(a1，b1，c1)， 平面 β 的法向量
的方向向量为 b 的法向量 u＝
＝(b1，b2，b3)， (a2，b2，c2)，
为 v＝(a2，b2，c2)， 则 α⊥β⇔_u_·_v＝__0_
则 l⊥m⇔_a_⊥__b_ 则 l⊥α⇔_a_∥__u_
数学 选修2-1
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[问题1] 在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方 向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？
[提示1] 能． [问题2] 石墩夯实地面的过程中，石墩所在的直线和地面 垂直吗？
[提示2] 垂直．
数学 选修2-1
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3．已知平面α上两个不共线向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)， 则平面α的一个法向量为________．
解析： 设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由ab··nn＝ ＝00 得25xx＋ ＋36yy＋ ＋z4＝z＝0， 0，
数学 选修2-1
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空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线 l 的方向 设直线 l 的方向
若平面 α 的法向
向量为 a＝(a1， a2，a3)，直线 m
向量是 a＝(a1， b1，c1)，平面 α
数学 选修2-1
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直线的方向向量与平面的法向量
1．直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_共__线__或__平__行___的向量． 2．平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的___方__向__向__量__a_，则a叫做平面α的法向 量．
数学 选修2-1
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(2)平面 α 的一个法向量垂直于与平面 α 共面的所有向 量．
(3)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
数学 选修2-1
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(1)求证：AF∥平面 BDE； (2)求证：CF⊥平面 BDE.
数学 选修2-1
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1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n
＝(－2,0,4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l与α斜交
解析： ∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，n＝2a，∴n∥a，
∴l⊥α.
答案： B
数学 选修2-1
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3.2 立体几何中的向量方法
3.2.1 用向量方法解决平行与垂直问题
数学 选修2-1
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对空间垂直关系的几点认识 空间中的垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直， 这几种垂直关系是可以相互转化的，判定或证明垂直关系的方 法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关 系进行的．
数学 选修2-1
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对直线的方向向量和平面的法向量的几点认识 (1)空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个方向确定．在直线 l 上取A→B＝a，a 可以作为 l 的方 向向量，借助点 A 和 a 即可确定直线 l 的位置，并能具体表 示出直线 l 上的任意一点．
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1．会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、 平面间的平行、垂直等位置关系．
2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的 垂直与平行．
数学 选修2-1
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以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的 石制工具(如图所示)，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴 着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面， 然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成 等角，且与水平地面所成角为 45°，为了使 60 kg 石墩垂直离 开地面，每个人最少需用 20 2 g 牛顿的力．
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2．若平面 α，β 的法向量分别为 m＝(－1,2,4)，n＝(x，
－1，－2)，且 α⊥β，则 x 的值为( )
A．10
B．－10
1 C.2
D．－12
解析： 若 α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，即 m·n
＝0，
即(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得 x＝－10，故选 B. 答案： B