n1

若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态
x(0)都应从上述方程中解出 0，1，…，n 1。
这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即
rank[ B AB A2B … An 1 B ] = n
例：设系统的状态方程为
1 3 2 2 1
x(t) 0
将对角标准形的每一行写成如下展开形式
~xi i~xi
~ (bi1u1
~ bi2u2

~ birur )
显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，x%i
( i = 1，2，…，n)能控的充要条件是下列元素 b%i1,b%i2,L ,b%ir 不同时为零。
例： 考察下列系统的状态能控性。
1

~x(t)

2


~x(t
)

B~u(t
)


n

中, B~ 不包含元素全为零的行。
证明：系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。
由前章可知，系统(A，B)和(A~ ，B~ )之间做线性
非奇异变换时有：
x P~x A~ P 1 AP B~ P 1B
方法二：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
证明 已知状态方程的解为
x(t f ) eA(tf t0) x(t0 )
t f eA(t f ) Bu( )d
4.1线性系统能控性和能观测性的概述
(1) 能控性 控制作用u(t)对被控系统状态x(t)进行控制的可能性。
(2) 能观测性 由系统输出量测值y(t)确定系统状态x(t)的可能性。
一、 状态能控性
线性定常系统
存在一个分段连续输入信号u(t)，能在有限时间 区间[t0，tf ]内 ，使系统的某一初始状态x(t0)转移到 指定的任一终端状态x(tf ) ，则称此状态是能控的。
2
0x(t
)


1
1u(t)
判断其状态能控性。 0 1 3
1 1
解：
2132 54
1122 44 Qc = [ B AB A2B ] = 1 1 2 2 4 4
rank(QC ) 2 n
所以系统状态不完全能控。
方法三：
u x 单输入系统中，
x(0)

n1

Ak B
tf 0
k ( )u( )d
k 0
因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令
t f
0
k ( )u( )d

k
n1
x(0) Ak B k k 0
B AB A2B
0
An1B

1
例： 考察下列各系统的状态能控性。
4 1 0
0
(1)
x(t)


0
4
0 x(t) 4u(t)
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x(t)


0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
4.2 线性定常系统的能控性 一、 状态能控性判据
方法一：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法二： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法三： 传递函数
方法一： （1）设线性定常连续系统(A，B)具有两两相异的特征值， 则其状态完全能控的充要条件是系统经线性变换后 的对角线矩阵
若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么 就称系统在[t0，tf]时间间隔内是状态完全能控的， 简称系统是能控的。
说明： 1.线性定常系统可以假设 t0=0，初始状态为x(0)，任意终端状态 为零状态，即x(tf)=0；反之亦可。 2.若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的控制作用u(t)， 则称系统是可达的。 3.对线性定常系统，可控与可达是可逆的。 4.控制作用u(t)无约束，取值非唯一。
t0
设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点， 即x(tf ) = 0。则有
x(0) tf eA Bu( )d 0
利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理
n1
eA 0 ( )I 1( )A n1( )An1 k ( )Ak k 0
间的传递函数阵为
wux (s) (sI A)1b 状态完全能控的充分必要条件是 wux (s) 没有零点和极点重合
否则，被消的极点就是不能控的，系统也为不能控系统。
例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
例：判断线性连续系统能控性？ 解：
线性定常系统能控性判据小结： ① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n ② 当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行； 当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与 约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应 的行不全为零。 ③ 单输入系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极 点对消。
7

2
(1)
x(t)


5

x(t)

5u(t)

1
7
7

2
(2)
x(t
)


5

x(t)

0u(t
)

1
9
7

0 1
(3)
x(t)


5

x(t
)

4
0u(t)

1
Q~c B~ A~B~ A~2B~ A~n1B~
P 1B P 1APP1B P 1APP1APP1B P 1 B AB A2B An1B
P 1Qc
P是非奇异阵
rankQ~c rankQc
其次证明不包含元素为零的行是系统(A，B) 状态完全能控的充要条件。
7 5
（2）若线性连续系统(A，B)有相重的特征值,则其状态 完全能控的充要条件是：系统经线性变换后的约旦 矩阵
x&%(t) Jx%(t) B%u(t)
输入矩阵 B% 中对应于互异的特征值的各行，没 有 一 行的元素全为零； 输入矩阵 B%中与每个约当块最后一行相对应的 各 行，没有一行的元素全为零。