线性时变系统也称为线性变系数系统。其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，至少包含一个卷数为随时间变化的函数。在视实世界中，由于系统外部和内部的原因，参数的变化是不可避免的，因此严格地说几乎所有系统都属于时变系统的范畴。但是，从研究的角度，只要参数随时间的变化远慢于系统状态随时间的变化，那么就可将系统按时不变系统来研究，由此而导致的误差完全可以达到忽略不计的程度。
图9输入信号在2s的响应
在如图7所示的线性系统中，在初始时刻t=0时对系统施加阶跃信号，得到如图8所示的输出波形，在t=2时也对系统施加阶跃信号，得到如图9所示的输出波形，由以上图可见，当系统输入信号延迟了两个单位时间后，其输出波形一致，只是延迟了两个单位时间，由此可验证时不变系统的特性。
[t,x]=ode45('funcforex16',[-1,10],[0;3],[],R,L,C);
figure(2);plot(t,x(:,1),'k');
text(0.58,1.42,'\leftarrow u_0(t)');
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('叠加性');
将特征方程写成多项式形式 。由于特征值全由特征多项式的系数 唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么这些系数 也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
5记忆性与因果性
若一个系统当前的输出只与当前的输入有关，则该系统称为无记忆性系统。纯电阻电路就是一个无记忆性的系统。若一个系统当前的输出与过去、当前和将来的输入有关，则该系统称为有记忆性的系统。特殊地，当系统的当前输出只与过去和当前的输入有关，而与将来的输入无关，则该系统为具有因果性的系统。任何一个物理系统都是因果系统，即在建立一个物理系统时，因果性是一个必要的条件。
线性系统的一个基本特征是其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。叠加原理是指，若表系统的数学描述为L，则对任意两个输入变量u1和u2以及任意两个非零有限常数c1和c2必成立关系式：
对于线性系统，通常还可进一步细分为线性时不变系统（linear time-invariant systems)和线性时变系统（linear time-varying systems)两类。
当系统的输入为一个理想的脉冲信号并且初始状态为0时，令系统的输出即脉冲响应为 ，t为系统的当前时刻， 为脉冲信号作用到系统的时刻。对于因果系统来说，当 时， 。
记单位脉冲信号为 ，即
或
在单位脉冲信号作用下系统的零状态响应称为系统的单位脉冲响应，用 表示。
考虑一个单输入单输出线性系统的零状态响应。令 为图X所示的脉冲，其宽度为Δ，高度为1/Δ，作用时间是 时刻。因此，输入 可以近似看成多个脉冲序列的和，即 可近似看成多个 之和，即
齐次性验证仿真结果如图2:
图2 齐次性的仿真结果
为输入电压4V,电容初始状态为2V时的系统响应。 为输入电压2V,电容初始状态为1V时的系统响应，由响应曲线可知 的响应为 的2倍，齐次性得证。
叠加性仿真结果如图3所示：
图3叠加性仿真结果
为输入电压6V,电容初始状态为3V时的系统响应。 为输入电压4V,电容初始状态为2V时的系统响应， 为输入电压1V,电容初始状态为1V时的系统响应，由响应曲线可知 的响应为 和 之和，叠加性得证。
教师评语：
成绩评定：分任课教师签名：年月日
线性系统理论的研究对象为线性系统。线性系统是最为简单和最为基本的一类动态系统。线性系统理论是系统控制理论中研究最为充分、发展最为成熟和应用最为广泛的一个分支。线性系统理论中的很多概念和方法，对于研究系统控制理论的其他分支，如非线性系统理论、最优控制理论、自适应控制理论、鲁棒控制理论、随机控制理论等，同样也是不可缺少的基础。
线性系统的零输入响应 定义为只有初始状态作用即 而无输入作用即 时系统的状态响应。
线性系统的零初态响应 定义为只有输入作用即 而无初始状态作用即 时系统的狀态响应。
利用线性系统的叠加性可得，系统的响应输出为系统的零输入响应和零状态响应之和。利用Matlab仿真结果如下。
仿真代码如下：
L=1;
C=1;
figure(1);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid;
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('齐次性');
text(0.55,0.95,'\leftarrow u_0(t)');
[t,x]=ode45('funcforex15',[-1,10],[0;2],[],R,L,C);
2零输入响应和零状态响应
线性系统的一个基本属性是满足叠加原理。基于叠加原理，可以把系统同时在初始状态 和输入 作用下的状态运动 ，分解为由初始状态 ,和输入 分别单独作用所产生的运动 和 的叠加.即 并且，称 为系统的零输入响应， 为系统的零初态响应。线性系统运动的可分解属性为分析系统运动过程的演化规律提供了简便性和直观件。
研 究 生 课 程 论 文
(2014-2015学年第一学期)
线性系统的基本特性
研究生：
提交日期：2014年10月30日研究生签名：
学号
201420114258
201420114425
201420114289
学院
自动化科学与工程学院
课程编号
S0811040
课程名称
线性系统理论I
学位类别
硕士
任课教师
苏为洲教授
线性时不变系统也称为线性定常系统或线性常系数系统。其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系数都是不随时间变化的函数。从实际的观点而言，线性时不变系统也是实际系统的一种理想化模型，实质上是对实际系统经过近似化和工程化处理后所导出的一类理想化系统。但是，由于线性时不变系统在研究上的简便性和基础性，并且为数很多的实际系统都可以在一定范围内足够精确地用线性时不变系统来代表，因此自然地成为线性系统理论中的主要研究对象。
本论文使用了一个简单的线性系统，即RLC电路仿真来验证线性系统的叠加性和齐次性。RLC电路图连接如图1：
图1RLC串联电路
设电感电流为 ，电容电压为 ，根据电路，列出KVL方程：
改写为标准形式：
利用Matlab进行仿真，求解状态方程。将RLC电路微分方程写成状态空间表达式代码如下:
function xdot = funcforex14( t,x,flag,R,L,C )
R=1.5;
[t,x]=ode45('funcforex12',[-1,10],[0;0],[],R,L,C);
figure(1);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid;
text(0.57,0.20,'\leftarrow 零状态响应');
text(0.55,0.95,'\leftarrow u_1(t)');
[t,x]=ode45('funcforex15',[-1,10],[0;2],[],R,L,C);
figure(2);plot(t,x(:,1),'b');
text(0.61,0.48,'\leftarrow u_2(t)');
text(0.70,0.07,'\leftarrow 零输入响应)');
[t,x]=ode45('funcforex12',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
figure(1);plot(t,x(:,1));hold on;xlabel('time sec');
text(0.55,0.31,'\leftarrow 系统全响应');
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('系统响应');
[t,x]=ode45('funcforex13',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
figure(1);plot(t,x(:,1),'k');hold on;xlabel('time sec');
用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义,即具有叠加性和齐次性(或均匀性）。现举例说明：设有线性微分方程为
当 时，上述方程的解为 ；当 时，其解为 。如果 ，容易验证，方程的解必为 ，这就是可叠加性。而当 时，式中A为常数，则方程的解必为 ，这就是齐次性。
线性时不变系统和线性时变系统在系统描述上的这种区別，既决定了两者在运动状态特性上的实质性差别.也决定了两者在分析和综合方法的复杂程度上的重要差别。事实上，比之线性时不变系统，对线性时变系统的研究要远为复杂得多，也远为不成熟得多。因此本论文将主要介绍线性时不变系统的基本特性及它们之间的内在联系。
1.叠加性和齐次性
一个系统的输出响应与输入信号施加于系统的时间起点有关，称为时变系统。时变系统的特性随时间变化而变化。火箭就是时变系统的一个典型的例子，在飞行中它的质量会由于燃料的消耗而随时间减少；另一个常见的例子是机械手，在运动时其各关节绕相应轴的转动惯量是以时间为自变量的一个复杂函数。
时变系统的特点增加了分析和研究的复杂性，对于线性时变系统，其状态空间表达式中A、B、C、D都是随时间变化的，比定常系统复杂得多。对于线性时变系统，有： 。
xdot=zeros(2,1);