记作
bd
a
z
DZ
f (x, y, z)dxdy
z b
z Dz a
y x
面密度≈
f (x, y, z) d z
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方法3. 三次积分法
设区域 :
z1(x, y) z z2 (x, y)
(
x,
y)
D
:
y1(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
作业
P175-176 A类：1(2)(4); 3; 5; 7; 9; 10 (2) B类：1(2)(3); 2; 3; 4
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记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
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方法2. 截面法 (“先二后一”)
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
abDZ f (x, y, z) d x d ydz
例1. 计算三重积分 xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
0 z 1 x 2y
解: :
0
y
1 2
(1
x)
0 x 1
x d x d y d z
1x2 y
0 d z
1
xdx
1 2
(1
x)
(1
x
2
y
)d
y
0
0
1
1
(x
2x2
x3 )d x
六个平面 x 0, x 2, y 1, x 2 y 4, z x , z 2 所 围成 , f (x, y, z) C().
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
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例4. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
1
40
48
z 1
1 2
y x1
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例2. 计算三重积分
c z Dz z
解: :
c zc
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1z2 c2aFra bibliotekbyx
用“先二后一 ”
z
2
d
x
d
y
d
z
c
z c
2
d
z
Dz
d
x
d
y
2
c z 2
c
ab(1
z c
2 2
)dz
4
15
abc3
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例3.
将 I f (x, y, z) d v 用三次积分表示, 其中由
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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方法1. 投影法 (“先一后二” )
:
z1
( (
x, x,
y) y)
z D
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如
中值定理.
在有界闭域 上连续, V 为 的
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
f (x, y, z) d v f (,, )V
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二、直角坐标系下三重积分的计算
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
第4节
直角坐标系下 三重积分的计算
一、三重积分的概念回顾 二、三重积分的计算
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一、三重积分的概念回顾
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
n
M
lim
0
(k ,k , k )vk
k 1
vk
(k ,k , k )
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定义. 设f (x, y, z) , (x, y, z) , 若对 作任意分割:
任意取点
下列
积和式” 极限
“乘
lim
0
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在上的三重积分.
方法2. “先二后一”
b
a d zDZ f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
b
dx
y2 (x) d y
z2 (x, y) f (x, y, z)d z
a
y1( x)
z1( x, y)
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据
被积函数及积分域的特点灵活选择.
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奇函数
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例5. 计算
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
解:
利用对称性
1 2
(
x2
y2
)d
xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1
4
dz
2
d
2z r3 d r 21
21 0
0
其中
z 4
1
Dz
oy x
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投影法
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x, y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1( x, y)
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
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当被积函数在积分域上变号时, 因为
f (x, y, z)
f (x, y, z) f (x, y, z)
z2
(x,
y)
细长柱体微元的质量为
z z2 (x, y)
z
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
z z1(x, y)
该物体的质量为
y
f (x, y, z) d v
xD
dxd y
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
f (x, y, z) f (x, y, z)
2
2
f1(x, y, z) f2 (x, y, z)
均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)d z
D
z1(x, y)