专题一5大数学思想方法类型一分类讨论思想(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )A．5 B．4 C．3 D．22．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：设李师傅第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二数形结合思想(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________ km，大客车途中停留了________ min，a＝________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．【分析】 (1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km的速度与80 km/h作比较可得结论．(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．【自主解答】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．3．(2018·大庆中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ； ②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a； ③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2018·苏州中考)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx 在第一象限内的图象经过点D 交BC 于点E.若AB ＝4，CE ＝2BE ，tan∠AOD＝34，则k 的值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．125．(2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt△ABC 中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE 交DG 于点I ，利用三角函数求得∠DEI 即可求得β的值，从而作出判断． 【自主解答】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．6．(2018·山西中考)如图，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－87．(2018·黄冈中考)则a －1a ＝6，则a 2＋1a2值为______．8．(2018·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A ，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA ＝45°，AC ＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)类型四 方程思想(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD＝∠DAB； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【分析】 (1)由AB 是⊙O 的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB 是⊙O 的切线知∠PBD＋∠ABD＝90°，据此可得证；(2)连接OC ，设圆的半径为r ，证△ADE∽△CBE，由AC ︵＝BC ︵知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC ，CE ，再根据BC 2－CE 2＝CE·DE 计算可得． 【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．9．(2018·白银中考)若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边形的边数是________．10．(2018·上海中考)如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．类型五函数思想(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数解析式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．【自主解答】在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．11．(2018·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型一【例1】 (1)如图1，连接AF.由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.∵AB＝CD，∴FD＝CD.(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG，B G，DG，同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.变式训练1．C2．解：(1)设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，代入(1，7.5)，(3，8.5)得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7.5，3k ＋b ＝8.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.5，b ＝7，即p 与x 的函数关系式为p ＝0.5x ＋7(1≤x≤15，x 为整数)．当1≤x＜10时，W ＝[20－(0.5x ＋7)](2x ＋20)＝－x 2＋16x ＋260.当10≤x≤15时，W ＝[20－(0.5x ＋7)]×40＝－20x ＋520，即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋260（1≤x<10，x 为整数），－20x ＋520（10≤x≤15，x 为整数）.(2)当1≤x＜10时，W ＝－x 2＋16x ＋260＝－(x －8)2＋324，∴当x ＝8时，W 取得最大值，此时W ＝324.当10≤x≤15时，W ＝－20x ＋520，∴当x ＝10时，W 取得最大值，此时W ＝320.∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．(3)当1≤x＜10时，令－x 2＋16x ＋260＝299，得x 1＝3，x 2＝13，当W ＞299时，3＜x ＜13.∵1≤x＜10，∴3＜x ＜10.当10≤x≤15时，令W ＝－20x ＋520＞299，得x ＜11.05，∴10≤x≤11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)． 答：李师傅共可获得160元奖金．类型二【例2】(1)由图形可得学校到景点的路程为40 km ，大客车途中停留了5min ，小轿车的速度为4060－20＝1(km/min)，a ＝(35－20)×1＝15.故答案为40，5，15.(2)由(1)得a ＝15，∴大客车的速度为1530＝12(km/min)．小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)×107×12＝1257(km)，40－1257－15＝507(km)．答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507 km.(3)设直线CD 的解析式为s ＝kt ＋b ，将(20，0)和(60，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝0，60k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－20，∴直线CD 的解析式为s ＝t －20.当s ＝46时，46＝t －20，解得t ＝66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40－1512×107＝35(min)，小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝32(km/min)＝90 km/h ＞80km/h. 答：小轿车折返时已经超速．(4)大客车的时间：4012＝80(min)，80－70＝10(min)．故答案为10.变式训练3．B 4.A5．解：(1)设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，将(150，45)，(0，60)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45，b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－110，b ＝60，∴该一次函数解析式为y ＝－110x ＋60.(2)当y ＝－110x ＋60＝8时，解得x ＝520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530－520＝10(千米)，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 类型三【例3】 (1)∵Rt△ABC 中，tan A ＝BC AB ，∴AB＝BC tan A ＝BC tan 20°≈20411＝55(cm)．(2)如图，延长FE 交DG 于点I ，则四边形GHFI 为矩形，∴IG＝FH，∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)．在Rt△DEI中，sin∠DEI＝DIDE ＝2830＝1415，∴∠DEI≈69°，∴β＝180°－69°＝111°≠100°，∴此时β不符合科学要求的100°.变式训练6．A 7.88．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝320，AD＝3203，∴BD＝CD＝320，BC＝3202，∴AC＋BC＝640＋3202≈1 088，∴AB＝AD＋BD＝3203＋320≈864，∴1 088－864＝224(公里)．答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约224公里．类型四【例4】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD.(2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴DEBE＝AECE，即DE·CE＝AE·BE.如图，连接OC.设圆的半径为r ，则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE·CE＝AE·BE＝(OA －OE)(OB ＋OE)＝r 2－OE 2.∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2，BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2，∴BC 2－CE 2＝DE·CE.(3)∵OA ＝4，∴OB＝OC ＝OA ＝4， ∴BC＝OB 2＋OC 2＝4 2.又∵E 是半径OA 的中点，∴AE＝OE ＝2，则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∵BC 2－CE 2＝DE·CE， ∴(42)2－(25)2＝DE·25，解得DE ＝655.变式训练 9．8 10.127类型五【例5】 (1)①由题意可得xy ＝3，则y ＝3x .②当y≥3时，3x ≥3，解得x≤1，∴x 的取值范围是0＜x≤1.(2)∵一个矩形的周长为6，∴x＋y ＝3，∴x＋3x ＝3，整理得x 2－3x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝9－12＝－3＜0，∴矩形的周长不可能是6，∴圆圆的说法不对．∵一个矩形的周长为10，∴x＋y ＝5，∴x＋3x ＝5，整理得x 2－5x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，∴方方的说法对．变式训练11．解：(1)将点A ，B 的坐标代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4，∴抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2－4x ＋6，当x ＝0时，y ＝6，∴点C 的坐标为(0，6)．(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 点在AC 的垂直平分线上． 设M(－1，y)，由MA ＝MC 得(－1＋3)2＋y 2＝(y －6)2＋(－1－0)2，解得y ＝114，∴点M 的坐标为(－1，114)．(3)①如图，过点A 作DA⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D. ∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°， ∴∠DAO＝∠ACO，∠C AO ＝∠AFO，∴△AOF∽△COA，∴AO OF ＝CO AO ，∴AO 2＝OC·OF.∵OA＝3，OC ＝6，∴OF＝326＝32，∴F(0，－32)．∵A(－3，0)，F(0，－32)，∴直线AF 的解析式为y ＝－12x －32.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC 的解析式为y ＝－6x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32，y ＝－6x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1511，y ＝－2411，∴D(1511，－2411)，∴AD＝24115，AC ＝35， ∴tan∠ACB＝2451135＝811.∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB，∴tan∠ABE＝2.如图，过点A 作AM⊥x 轴，连接BM 交抛物线于点E. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2，∴AM＝8，∴M(－3，8)．∵B(1，0)，M(－3，8)，∴直线BM 的解析式为y ＝－2x ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，(舍去)∴E(－2，6)．②当点E 在x 轴下方时，如图，过点E 作EG⊥AB，连接BE. 设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)，∴tan∠ABE＝GE BG ＝2m 2＋4m －6－m ＋1＝2，∴m＝－4或m ＝1(舍去)，可得E(－4，－10)．综上所述，E 点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．。