第一章作业参考答案
1-1. 求以下排列的逆序数：
（1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10
（2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1)
2(1)2
n n n n -⨯=-
1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a
解：()12(234516)4,•3126454t t t t ====
128t t t =+=为偶数，故该项带正号。
1-3. 用行列式的定义计算：
（1）
0004
0043
0432
4321
（3）
01
2
3
100010001x x x a a a x a ---+
解：（1）
1241231240
0040
043(1)(1)444425604324
3
21
t
q q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3）
1320
1
2
3
1
00010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+
233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++
1-4. 计算下列行列式：
（1） 1111111111111111--- （3）
120
03
40000130051
- （5）1111111111111111a a b b +-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a
=
解：（1）111111111111
0200
1(2)(2)(2)81111002011110002
--=
=⨯-⨯-⨯-=-----
（3）
()1200
34001213(1423)113532001334510
05
1
-=⨯=⨯-⨯⨯-⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦- （5）11111111111111100000
1111000011110000a a a a a a
a
b a b a b b a b a b
++----=
=+-------
2221
1
1
11
1
00000
0000
00
0000
0a a
a b a a a b b b b
a
b
+
--===---
（7）(1)(1)(1)n a b b b a n b a n b a n b b a b b b a b
D b b b a b b a
+-+-+-=
=
1111111
00
[(1)]
[(1)][(1)]()00000n b
a b a b a n b a n b a n b a b b
b a a b
--=+-=+-=+---
1-5. 证明：
（1）
332()x
y x y y x y x x y x y
x y ++=-++ （3）
2222222222222
2
2
2
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++
证明：（1）
2()2()2()x
y x y x y x y x y y
x y x y x y x x y
x
y x y x y +++++=
+++
1
11
1
1
1
2()
2()00x y y x y x x y x x y x y x y y x
=++=+-+--
2332()[()]2()x y x y x y x y =+-+-=-+
（3）
22222222222
2
2
2
2
2
2222
(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)
(3)
21
44
69
(1)(2)(3)214469
a a a a a a a a
b b b b b b b b c
c c c c
c c c
d d d d d d d d ++++++++++++=
++++++++++++
2
22
2
21262126021262126
a a
b b c
c d d ++=
=++
1-6. 计算下列行列式：
（1）00100
0000100
n a a D a a
=
（3）1231
110000220
1(1)
n n n n ------
解：（1）2001
00
00
000
00(1)100000
00100
100n n a a a a a D a a
a a a
==+-⨯⨯
2
n
n a a
-=-
（3）1231
1
2
3
21
11000110000220
0022000001(1)0000
(1)
n n
n n n n n ----=-------
1
12323342101000(1)!(1)002002
(1)
n n n n n n n n +++++++++++--+==
=----
1-7. 解下列方程：
（1）2
42
1123
1223
()023152319x D x x -=
=-
解：要使原方程有解，观察可知只有两种可能： ①当221x -=时，即1x =±时，4()0D x = ②当295x -=时，即2x =±时，4()0D x = 综上所述，原方程的解为1，-1，2，-2
1-8. 设15781
111
20963437
D --=
--，试证：414243440A A A A +++=
证明：根据拉普拉斯定理可知4142434411110A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=
即414243440A A A A +++=
1-9. 用Cramer 法则解下列方程组：
（1）1234124
23412342583692254760
x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩
解：该方程组的系数行列式为21511306270212
1476D ---==--，常数向量89
50β⎛⎫
⎪
⎪= ⎪- ⎪
⎝⎭
1815193068152120476D ---==--- 22851
190610805121076D --==----
3218113962702521406D --==-- 4215813092702151470
D --==---
312412343,•4,•1,•1D D D D
x x x x D D D D
∴=
===-==-==
1-10. （1）问λ取何值时，下列齐次方程组有非零解？
12312313
220300x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
++=⎨⎪-=⎩ 解：要使原方程有解，由定理1.8知222
3
11200
1
λ
λλλ=+-=- 解得11λ=或22λ=-。
附加题：
计算：n
x x x a x
x a x x
a x x a
x
x x 解：(1)(1)(1)(1)n n
x x x a a n x a n x a n x a n x x x a x x x a x
x
a x x x
a x x
a
x x x a
x x x +-+-+-+-=
1
111111
1
000[(1)][(1)]0
000
n x
x a x a x a n x a n x x
a x x a x a
x x x a x
-=+-=+--- (1)
12
[(1)](1)
()n n n a n x a x --=+-⨯--。