五、简谐振动的能量
以水平弹簧
E
Ek
Ep
1 2
m
dx dt
2
A
1 2
kx 2
1 2
kA2
振子为例： Ek 、Ep 周期为T/2
x A
Ek
Ep
1 4
kA2
T o
t E 1 kA2 2
-A
Ek
Ep
E
Ek A o
x
A
EP t T/2
七、 一维简谐振动的合成
1、 同方向、同频率的两个简谐振动的合成
S S’
B
vsT
uTS vSTS (u vS )TS
观察
W
u
u
u (u vS )TS u
波源向观察者运动
u
vS
S
者接
R W uv S S
收的 频率
u
4、两个同频率简谐振动的相位差：
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
它们的相差为：
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
（也可写成 1 2 ） 若 2k (k为整), 两质点振动步调相同 (同相)
若 (2k 1) (k为整), 两质点振动步调相反 (反相)
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
x = x1+ x2 =A cos( t+ )
A A12 A22 2A1A2 cos
arctan A1 sin1 A2 sin2 A1 cos 1 A2 cos 2
两种特殊情况：
y
A
ω
A2
A2 sin 2
2
A1
o
1
2
g l
,
T 2
l g
3、 相位（位相，周相）： x Acos(t )
( t + )是 t 时刻的相位，反映质点的运动状态。
t =0 时位相值 ，称初相，
由振动系统的初始状态决定。
arctan(
v0
x0
)
为方便计，规定： (或0 2 )
注：角频率ω就是相位的变化速率。
（2） 相干条件：同频率、同振动方向、 相位差恒定。
（3）干涉规律
相干波源：
y10 A10 cos(t 10 ) y20 A20 cos(t 20 )
两列相干波在P点引起的振动
y1
A1 cos(
t
2
r1
10 )
r1
y2
A2
cos(
t
2
r2
20 )
●
S1
●P
r2
● S2
叠加结果： y y1 y2 Acos( t )
m
二、简谐振动的特征量 x Acos(t )
1、振幅 A ：质点离开平衡位置的最大距离。
A
x02
v02
2
由振动系统的初始状态决定。
2、角频率（圆频率）ω : 2秒内质点的振动数。 2 2 由振动系统本身的性质决定。
T
对弹簧振子： k , 1
k ,
T 2 m
m
2 m
k
对单摆：
g/l,
2 A2
（特征）
w 1 A2 2 （适于各种弹性波）
2
（4） 单位时间内垂直通过某一截面的能量, 称为波通过 该截面的能流，或叫能通量。
在一个周期内能流的平均值称为平均能流:
P u S w
（5） 能流密度（波的强度）
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。
A2 A12 A22 2 A1 A2 cos
( 20
10 )
2
r2
r1
I I1 I2 2 I1I2 cos
干涉加强的条件： 2k , k 0,1,2,3,...
A Amax A1 A2 , I Imax I1 I2 2 I1I2
干涉减弱的条件： (2k 1) , k 0,1,2,3,...
为简化问题，设两谐振 x1 Acos(1t )
动的振幅和相位都相等。 x2 Acos(2t
x
=
x1+
x2
2 A cos( 2
2
1
t ) cos( 2
2
1
t
当 2 1时， 2- 1 2+ 1
) )
合振动 不是简 谐振动。
x A0(t )cos(t )
A0 (t )

2 A cos( 2
xmax A
t
v
vmax A
t
a
amax 2 A
t
四、 简谐振动的旋转矢量表示法
x Acos(t )
M(t) ω A
1、矢量 （A模与振幅等值)以匀角速 度ω(与角频率等值)逆时针旋转。
AM
ωt
(t =0)
2、t
=0时，A与x
轴正向夹角为
。O
x x0 x
3、t =t 时，A与x 轴正向夹角为(ωt + )。
动力学方程：
d2
dt 2
2
运动方程：x Acos(t ) Acos(t )
w= k/m
g/l
注1：弹簧振子水平放置， 注2： 竖直放置或放在固定的光滑
1
1
k串 i ki
斜面上都可以做简谐振动。
k并 ki
i
例.质量为m的质点在水平光滑面上,两侧各接一弹
性系数为k的弹簧,如图,弹簧另一端被固定于壁
（3）波源作一次全振动，将传出一个完整的波形。
3、波的几何描述
（1）波射线 ——表示波的传播方向的射线。简称波线。
（2）波振面 ——由振动相位相同的点联成的面（同相面）
简称波面。
波线
波面
某时刻处在最前面的波面，称为波前。
波面
y
波
λ
线o
λ
x
球面波
平面波
λ
（3）波形曲线：表示任一时刻同一波线上各质元相对
x 一定
① x 一定，y t 给
出 x 点的振动方程。
0
T
t
② t 一定，y x 给 y
出 t 时刻空间各点位移
分布，即波形曲线。
0
波形曲线
t 一定 x
③ 一般地 y =y (x, t ) 表 y(x,t) y(x+△x,t+△t)
波线上各质点在不同时刻 y 的位移，反映了波形的传
u
播。
0 △x
A Amin | A1 A2 |, I Imin I1 I2 2 I1I2
10= 20 时，
r2
r2
r1
r1
k, k 0,1,2...
(2k
1)
2
,
k
相长干涉
0,1,2... 相消干涉
三、驻波
1、驻波的形成：两列振幅相同的相干波在同一直线
上相向传播时交汇处产生的干涉。
2、驻波的方程
——R单位时间内观测者接收到的振
多普勒效应——当波源或观察者或两者均相对介质运动， 以上三种频率不同的现象。
一 波源不动，观察者相对介质以速度 vR运动
观察 者接 收的 频率
nR
=
u + vR u
nw
观察者向波源运动
nR
=
u
- vR u
nw
观察者远离波源
二 观察者不动,波源相对介质以 vs运动
u
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数。设拍周期为Tb
2 A cos
2
2
1
(t
Tb
)
2Acos
2
2
1
t
2
1
2
Tb
π
2π
Tb 2 1
1 / Tb
2 1
2π
2
1
实例：双簧口琴、双簧管(oboe)、钢琴(piano)调音(钢琴与 标准音叉声波形成拍—拍频越小，说明钢琴的音越准)。
机械波
② 波动质元中总能量：W= △Wk + △Wp ≠const ，随时间
t 作周期性的变化。
③ 波的实质是能量的传播过程，且波的能量是以波的
传播速度和方向传播的。
（2）能量密度： 波动传播时，介质单位体 积内的总
机械能。w
W V
2 A2 sin2[(t
（3）平均能量密度（对时间平均)
x u
)]
2
1
t
)
随ｔ缓变；
cos(t ) cos(2 1 t ) 随ｔ快变。
2
合振动可看作振幅缓变的“简谐振动”。
x1 t
x2 t
x t
拍 x 2Acos( 2 1 ) t cos( 2 1 ) t
2
2
A0 (t )
2 Acos(
2
1 ) t
2
合振动的强弱A02(t)随 t 变化的现象－拍(beat)
竞赛内容和要求
机械振动
一、简谐振动的定义
1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位 移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的 规律变化，称这个物体在作简谐振动或简谐运动。
2、两个特例：“弹簧振子”和“单
摆” 。
弹 簧 振
单 摆
子
弹簧振子
单摆
动力学特征： f kx
M mg sin l
l
mgl
I
P
S
uw
1 2
A2 2u
I
1
A2 2u
2
对无吸收媒质：波传播时振幅的变化
①平面波：A1= A2 ； ②球面波： A1 r1 = A2 r2