高中物理竞赛辅导讲义第8篇 稳恒电流【知识梳理】一、基尔霍夫定律（适用于任何复杂电路） 1． 基尔霍夫第一定律（节点电流定律）流入电路任一节点（三条以上支路汇合点）的电流强度之和等于流出该节点的电流强度之和。

即∑I =0。

若某复杂电路有n 个节点，但只有（n −1）个独立的方程式。

2． 基尔霍夫第二定律（回路电压定律）对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。

即∑U =0。

若某复杂电路有m 个独立回路，就可写出m 个独立方程式。

二、等效电源定理1． 等效电压源定理（戴维宁定理）两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。

2． 等效电流源定理（诺尔顿定理）两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I 0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻。

三、叠加原理若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和（代数和）。

四、Y−△电路的等效代换如图所示的（a ）（b ）分别为Y 网络和△网络，两个网络中的6个电阻满足一定关系时完全等效。

1． Y 网络变换为△网络122331123R R R R R R R R ++=， 122331231R R R R R R R R ++=122331312R R R R R R R R ++=2． △网络变换为Y 网络12311122331R R R R R R =++，23122122331R R R R R R =++，31233122331R R R R R R =++五、电流强度与电流密度 1．电流强度 （1）定义式：q I t∆=∆。

（2）宏观决定式：U I R=。

（3）微观决定式：I neSv =。

2．电流密度在通常的电路问题中，流过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块导体中电流的流动情况时，用电流强度描述就过于粗糙了。

这是因为电流在截面上将会有一个强弱不同的分布，而且各点的电流方向可能并不一致。

为了“精细”地描述导体中各点电流的大小和方向，引入电流密度，记为j 。

电流密度是一个矢量。

（1）电流密度大小：Ij S∆=∆。

ΔS 是垂直电流方向的面积。

（2）电流密度方向：在导体中各点，电流密度方向与该点电流的方向相同。

六、电阻定律与欧姆定律 1．电阻定律：L R Sρ=。

电阻率ρ与导体材料和温度有关，与导体的形状尺寸无关。

在温度变化范围不大时，电阻率与温度间存在线性关系 0(1)t ρρα=+。

其中ρ0是0℃时的电阻率，ρ是t ℃时的电阻率，α是电阻率温度系数。

α在一段不大的温度间隔内可视为常量。

实验得，金属导体α>0，碳α<0。

2．欧姆定律：U I R=。

欧姆定律描述一段长度和截面积均为有限大小的导体的导电规律，它被广泛应用于直流电路和交流电路的分析之中。

然而，在某些情况下，这种描述显得过于粗糙，需要逐点分析电流密度j 和电场强度E 的关系。

对于各向同性导体，这个关系可以从上式导出。

设想在载有稳恒电流的各向同性导体内取一长度为Δl ，垂直截面积为ΔS 的小电流管。

只要Δl 和ΔS 足够小，就可以忽略垂直截面积ΔS 沿电流管的微小变化。

与此同时，只要电流管足够小，管内的电流场和导体元均可近似视为均匀的。

U I R ∆∆=，I j S ∆=∆，U E l ∆=∆，l lR S Sρσ∆∆==∆∆。

式中1σρ=，称为电导率。

由以上各式得到 j E σ=。

上式称为欧姆定律的微分形式。

七、物质的导电性 1、金属的导电性 2、液体的导电性法拉第电解第一定律：电解质导电时，在极板处析出物质的质量m 与通电时间t 和电流强度I 成正比，或者说与通过电解液的电量q 成正比，即 m = KIt = Kq 。

式中K 是比例恒量，称为电化当量，单位是kg/C ，即通过1库仑电量时极板处析出的物质的质量。

K 值大小与被析出物质种类有关，可根据mK It=由实验测定。

法拉第电解第二定律：物质的电化当量K 跟它的化学当量M n 成正比，即M K Fn=。

式中F 称为法拉第恒量，对任何物质都相同，实验测得 F = 9.65×104 C/mol 。

M 为该物质的摩尔质量，n 为化合价。

联立两条定律的表达式，得到 Mm q Fn=。

当Mm n=时，F = q 。

所以，法拉第恒量可以理解为：析出物质的数值等于化学当时，需要通过电解质的电量。

3、气体的导电性 4、真空中的电流 5、半导体导电 6、超导现象简介【例题选讲】1．如图所示的电路中，已知电源电动势E 1=3.0V ，E 2=1.0V ，内阻r 1=0.50Ω，r 2=1.0Ω，电阻R 1=4.5Ω，R 2=10.0Ω，R 3=19.0Ω，R 4=5.0Ω，求电路中三条支路上的电流强度。

2．如图所示的电路中，已知电源电动势E =1.5V ，电源内阻r =0.1Ω，电阻R 1=1Ω，R 2=1.6Ω，R 3=R 5=2Ω，R 4=1.2Ω。

试求总电流及各分支电流。

E 1 E 2 R 4 R 2 R 1R 3r 2r 1E rR 1 R 2R 4 R 3 R 53．如图所示电器中，E 1=4.0V ，E 2=1.0V ，R 1=10Ω，R 2=20Ω，R 3=30Ω，电源内阻不计。

电容C =500μF 。

求电容C 电荷量。

4．正四面体ABCD ，每条边的电阻均为R ，取一条边的两个顶点，如图中A 、B ，问整个四面体的等效电阻R AB 为多少？5．如图所示的电路中，12个相同的电阻阻值均为R 。

试求a 、b 两端的等效电阻R ab 为多少？6．有7根电阻均为R 的电阻丝，连成如图所示的电阻网络，试求A 、B 两点之间的等效电阻。

R R R R R R R A B A D C a b c d e fj h i E 1 E 2R 2 R 1 R 3 C7．如图所示的有限网络电路中，除最后一只电阻为R x 外，其余电阻阻值都是R ，那么要使A 、B 两点间的等效电阻与网络级数n 无关，R x 为多大？8．如图所示的无限网络，R 0=3R ，其他每根电阻丝均为R ，求A 、B 间的电阻R AB 。

9．用均匀电阻线作成的正方形回路，由九个相同的小正方形组成，小正方形每边的电阻均为R 。

（1）在A 、B 两点间接入电池，其电动势E ，内阻可忽略，求流过电池的电流强度。

（2）若用导线（不计导线电阻）连接C 、D 两点，求通过此导线的电流。

10．一无限平面导体网络，它由相同的正方形网眼组成，如图所示。

所有正方形的每边均为阻值等于R 的电阻丝。

（1）求结点A 、B 间的电阻；（2）若仅将A 、B 间的一根电阻丝换成阻值为3R 的电阻，则A 、B 间的电阻为多大？A B R 0A BCD11．有一无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。

所有六边形每边的电阻均为r 。

求结点a 、b 间的电阻R ab 。

12．一根均匀导线的电阻为1000Ω，允许通过的最大电流为1A 。

在电网电压为220V 时，如何利用这根导线做成一个功率尽可能大的电热器？并求出最大功率。

13．由6个未必相同的电阻和电压U =10V 的直流恒压电源构成的电路如图（a ）所示，其中电源输出电流I 0=3A 。

若如图（b ）所示，在电源右侧并联一个电阻（电阻记为R x ），则电源输出电流I =5A 。

今将此电源与电阻R x 串联后，改接在C 、D 两点右侧，如图（c ）所示，试求电源输出电流I'。

（a ） （b ）（c ）14．如图所示电路，电源内阻不计。

（1）求流过电阻R 的电流I ，I 的方向如何由R 1和R 2的相对大小而定？ （2）设R 1=R ，R 2−R 1=ΔR <<R ，写出I 的近似式。

（精确到小量ΔR /R 的一次方）15．电阻丝无穷网络如图所示，每两个结点之间的电阻丝的电阻都是r ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。

16．设在桌面上的固定孤立接线柱数为： （1）4个；（2）5个；（3）n 个。

任意两个接线柱间均接入电阻值同为r 的电阻。

求接线柱1和2间的等效电阻为多大？R 1 R 2 R 2 R 1 RU r r r r r r A rr r r rr r r r17．三只相同的金属圆圈，两两正交地连成如图所示的形状。

若每一只金属圈原长的电阻为R ，试求图中A 、B 两点间的等效电阻R AB 。

18．如图所示，12个阻值都是R 的电阻，组成一立方体框架，试求AC 间的电阻R AC 、AB 间的电阻R AB 与AG 间的电阻R AG 。

A B ABCDE F GH19．田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为R 。

试求网络中A 、B 两点间的等效电阻R AB 。

20．如图所示，一个原来用12根相同的电阻丝构成的立方体框架，每根电阻丝的电阻均为r ，现将其中一根拆去，求A 、B 两点间的电阻R AB 。

AB a b B A d cC D21．如图所示是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻的A、B两点接入电路中时，AB间的电阻R AB。

22．由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的正方形网络系列。

n=1时，正方形网络边长为L，n=2时，小正方形网络的边长为L/3；n=3时，最小正方形网络的边长为L/9。

当n=1、2、3时，各网络上A、B两点间的电阻分别为多少？A BLABA AB B n=1n=2n=323．如图所示的无限旋转内接正三角形金属丝网络是由一种粗细一致、材料均匀的金属丝构成，其中每一个内接正三角形的顶点都在外侧正三角形三边中点上。

已知最外侧三角形边长为l ，单位长度金属丝的电阻为r 0，求网络中AB 间的电阻R AB 。

24．如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r 。

试求A 、B 两点间的等效电阻。

B A A B25．半径为R 的薄壁球形导体，球心在O 点，球面上有三点A 、B 和C ，三条球半径OA 、OB 和OC 相互垂直。

球面上A 、B 两点连有细导线，并由这两根细导线接至电源。

已知通过电源的电流I 0进入球面A 点，再由球面B 点流出，如图所示。

求C 点处的电流密度（在球面上垂直于电流方向单位长度线段上流过的电流）。

26．如图所示，一长为L 的圆台形均匀导体，两底面半径分别为a 和b ，电阻率为ρ。

试求它的两个底面之间的电阻。

27．一铜圆柱体半径为a 、长为l ，外面套一个与它共轴且等长的铜筒，筒的内半径为b ，在柱与筒之间充满电阻率为ρ的均匀物质，如图所示，求柱与筒之间的电阻。