§不等式与不等关系1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式…2.5(80.2)200.1x x --⨯≥问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。

按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。

怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。

根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩§不等式与不等关系\回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b a c b c >⇒±>±（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0a b c ac bc >>⇒> （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0a b c ac bc ><⇒<1、不等式的基本性质：证明以上的不等式的基本性质证明：1）∵(a ＋c)－(b ＋c)＝a －b ＞0，∴a ＋c ＞b ＋c 2）()()0a c b c a b +-+=->，∴a c b c +>+． *实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>，（证明：∵a ＞b ，b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a －b)＋(b －c)＞0，即a －c ＞0，∴a ＞c ．于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）,a b b c a c >>⇒> （2）a b a c b c >⇒+>+（3）,0a b c ac bc >>⇒> （4）,0a b c ac bc ><⇒< 2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1）,a b c d a c b d >>⇒+>+； （2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；（3）0,,1n na b n N n a b >>∈>⇒>>[证明：1）∵a ＞b ，∴a ＋c ＞b ＋c ． ①,∵c ＞d ，∴b ＋c ＞b ＋d ．②,由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．2）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,3）反证法）假设nn b a ≤，则：若a b a b<⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴nn b a >．[范例]：例1、已知0,0,a b c >><求证 c c a b >。

证明：以为0a b >>，所以ab>0,10ab >。

于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a >,由c<0 ，得c c a b> 3.随堂练习1#2、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（3＋2）2 ６＋26；（2）（3－2）2 （6－1）2； （3；(4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 21b答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜[补充例题]例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。

根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。

比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

解：由题意可知： @（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８）＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）随堂练习21、 比较大小：（1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2 （2）2256259x x x x ++++与4.小结学习不等式的性质，并用不等式的性质证明一些简单的不等式，研究如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论-§一元二次不等式及其解法2.新课1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集 探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系<容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==,二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->； 当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

3）探究一般的一元二次不等式的解法：任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或 一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集 总结讨论结果：（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，—则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆》<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2"c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <|有两相等实根abx x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2-R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅[范例]例2 求不等式01442>+-x x 的解集.￥解：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程.,所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x 例3解不等式0322>-+-x x .解：整理，得0322<+-x x .,因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解，所以不等式0322<+-x x 的解集是∅.，从而，原不等式的解集是∅.4.小结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：】ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若③ 写出解集.§一元二次不等式及其解法2.新课[范例]例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：'21120180s x x =+ 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少（精确到0.01km/h ） 解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到21139.520180x x +> 移项整理得：2971100x x +-> 显然0>，方程2971100x x +-=有两个实数根，即1288.94,79.94x x ≈-≈。

所以不等式的解集为{}|88.94,79.94x x x <->或在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+，若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车#解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到222206000x x -+>移项整理，得211030000x x -+<，因为1000=>，所以方程211030000x x -+=有两个实数根，1250,60x x ==，由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60因为x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。