相关分析（续）
相关系数(correlation coefficient)



对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为 简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的， 称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相 关系数，记为 r
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r 的取值范围是 [-1,1] |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负相关 r = 0，不存在线性相关关系相关 -1r<0，为负相关 0<r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越 不密切
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第11章 一元线性回归
11.1 11.2 11.3 11.4 数值型变量间相关分析 一元线性回归 利用回归方程进行预测 残差分析
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引例
回顾：不同类型变量的关系
自变量 分类型 因 变 量 分类型 数值型 顺序型 顺序型 数值型
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相关与回归分析

人口数与GDP规模的相关系数
人口数与GDP规模的相关系数（1000-2003）
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相关与回归分析

The Kuznets curve and the great U-turn: a common developmental path?
Y 960 X
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f ( x)
9 5
x 32
回归模型
华氏与摄氏的关系为确定模型(deterministic)
50
F
40
9 C 32 5
f ( x)
30
20
所有的数据点都刚 好落在在线
10
10
5
32
0 x
5
10
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若干自变量变量对因变量的综合影响
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11.2 一元线性回归
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回归分析
回归分析


从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从 影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影 响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来 预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预 测或控制的精确程度
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回归分析
回归分析的目的有四：



将X与Y的关系以一种量化的方式来表达 检验有关于X与Y之间关系的理论 测量X与Y之间的关系强度 已知X值得条件下对Y作预测
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回归模型
1 解释变量 2+ 解释变量
回归模型
单个
多个
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相关系数
Y = -1 Y =0 Y =1
X
X
X
Y
= -.8
Y
=0
Y
= .8
X
X
X
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相关系数
相关系数检验

r 的抽样分布随总体相关系数和样本容量的 大小而变化

当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r 的抽样 分布趋于正态分布，尤其是在总体相关系数很小或接 近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。而当远离0时 ，除非n非常大，否则r的抽样分布呈现一定的偏态。

当为较大的正值时，r 呈现左偏分布；当为较大 的负值时，r 呈现右偏分布。只有当接近于0，而 样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的 随机变量
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相关系数

检验方法
采用R.A.Fisher提出的 t 检验 检验的步骤为: 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量 n2 tr ~ t (n 2) 2 1 r 确定显著性水平，并作出决策

Yi β0 βxi εi
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回归模型
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相关关系描述与测量
相关表
家庭编号 1 2 家庭月收入X(元 ) 800 1100 家庭月支出Y(元 ) 594 638
3 4
5 6 7 8 9 10
1400 1700
2000 2300 2600 2900 3200 3500
13
1122 1155
1408 1595 1969 2078 2585 2530
相关系数
性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间 的相关系数相等，即rxy= ryx 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小 性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意为着， r=0只表示两个变量 之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没任何 关系 性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与y一定有因果关系
相关系数
样本相关系数
r
( x x )( y y ) (x x) ( y y)
2
2
或 r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
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相关系数
性质1：


相关系数
Pearson积矩相关系数
随机变量 X 和 Y的协方差 : Cov (X,Y) E[(X )(Y )] X Y 其中 和 分别表示 X 和 Y 的总体均值 X
Y
总体相关系数: Cov ( X , Y ) =
X Y
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相关关系描述与测量
相关图（散点图）
3000 2500 家庭月支出Y(元） 2000 1500 1000 500
0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
家庭月收入X（元）
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回归模型

随机（统计）关系 Stochastic Relationships: 若
X=xi时，Y值不确定，而是服从某一概率分布，则 X, Y之的函数关系称为概率模型 令X为每家庭的月收入，Y为每个家庭消费支出。 对于某个特定的值X=xi而言，我们无法准确地预测 出对应于Y的单一值，因为除了收入外，还有很多 其它因素会影响消费支出。但是知道一个家庭的 月收入有助于我们预测消费支出，第i个家庭的消 费支出可以用下列概率模型表达：
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相关系数
经验解释：



|r|=1，为完全相关|r|0.8时，可视为两个变量之 间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱， 可视为不相关 上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检 验的基础之上
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11.1 数值型变量间的相关分析
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相关关系
相关关系类型
相关关系
线性相关
负相关
非线性相关
完全相关
正相关 负相关
不相关
正相关
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相关关系描述与测量
相关关系的测量


相关表——将一个变量按大小顺序排序，另一个 变量对应排列而成的表格 相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图的散 点而形成的图 编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相 关的有无、方向、形态、密切程度
引例
引例： 财富与幸福
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引例
引例： 数学的学与用
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相关与回归分析
相关关系


相关和回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及他们的父母的身高 时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩 子也高 但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。 对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较 矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平 均身高高
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相关与回归分析


Galton把孩子的身高向中间值靠近的趋势称 之为一种回归效应，而他发展的研究两个数 值变量的方法称为回归分析 卡尔· 皮尔逊在继续这一遗传学研究的过程 中，测量了1078个父亲及其成年儿子的身高
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相关与回归分析
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