数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结
第一章
1.简述数学建模的一般步骤。

2.简述数学建模的分类方法。

3.简述数学模型与建模过程的特点。

第二章
4.抢渡长江模型的前3问。

5.补充的输油管道优化设计。

6.非线性方程（组）求近似根方法。

第三章
7.层次结构模型的构造。

8.成对比较矩阵的一致性分析。

第五章
9.曲线拟合法与最小二乘法。

10 分段插值法。

第六章
11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。

12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。

13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。

14 一阶差分方程求解。

第七章
15 养老保险模型。

16 金融公司支付基金的流动。

17 LESLLIE 模型。

18 泛函极值的欧拉方法。

第八章
19 最短路问题的邻接矩阵。

20 最优化问题的一般数学描述。

第九章
21 马尔科夫过程的平衡点。

22 零件的预防性更换。

练习集锦
1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵
31/52a b P c d e f ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，（1）确定矩阵P 的未知元素。

（2）求
P 模最大特征值。

（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。

2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵
322P ⎡
⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，（1）将矩阵P 元素补全。

（2）求P 模最
大特征值。

（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。

3.考虑下表数据
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。

（2）用最小二乘法确定经验公式系数。

4.. 考虑微分方程
(0.2)0.0001(0.4)0.00001dx
x xy dt
dy y xy dt
εε⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
（1）在像平面上解此微分方程组。

（2）计算0ε=时的周期平均值。

（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？
5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-=
（1）求种群量增长最快的时刻。

（2）根据下表数据估计参数k 值。

6. 假设容积为V 的某湖泊已经受到某种物质污染，污染物在湖中分布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是
3 (m r s
单位：）。

（1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？ 求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。

7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？
8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。

该校共有,,A B C 3
个学生食堂。

经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去A ，C 食堂就餐，C 食堂分别有20%，20%的同学去A ，B 食堂就餐。

（1）建立该问题的数学模型。

（2）确定该校3个食堂的大致就餐人数。

9. 已知一阶差分方程100.80.3,
0.6n n y y y +=+=。

（1）求该差分方程平衡点。

（2）求n y 表达式。

10. 某种群至多只能活3岁，且按年观测的Leilie 矩阵
230.400,00.70L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么？ （2）在稳定的条件下，如果想只通过改变3龄组生育率来保持该种群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少？
11. 某人决定用10万元投资A 、B 、C 、D 四支股票，已知购买时四支股票股价分别为每股10元，15元，30元，95元，股市交易要求购买的每支股票数量以手为单位,至少为1手（1手=100股），四只股票的预期收益率分别为30%,20%,50%和15%，如果希望持有股票数量不超过80手，为了使得收益达到最大，请为他的投资建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。

不需要求出具体数值结果。

12. 小李夫妇曾经准备申请商业贷款20万元用于购房，每月还款880.66元，25年还清。

此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款20万元，每半月还款1761.32元，22年还清，但贷款时，应先预付8000元，以后每次按半月还款。

小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少3年还款期意味减少还款近3万2千元，而且每月多跑一趟，也不算什么，这家机构的条件还是优惠的。

（1）商业贷款的利率是多少？ （2）分析金融机构的条件是否优
惠。

13. 一家油运公司每天具有5000吨的运力，由于油轮货舱容积的限制，公司每天只能运输500003m的货物，每天可供运输的货物数量如下：
请建立该问题利润最大的优化模型（不需求
14.沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。

现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂
送水。

水厂与江岸的位置见右图。

如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。

（1） 对于最优方案，用α
表示,βγ。

（2） 求最优取水口位
置。

15. （1）给出下图从点1到点7的邻接矩阵。

（2）建立该问题最短路的优化模型。

（3） 给出该问题的最优结果。

16. 考虑下图所描述的最短路问题。

（1）写出从位置1到位置9的最短路的数学模型 。

（2）给出从位置1经过位置5到位置9的最短路。

（3）给出从位置1到位置9的最短路。

αβ
γ
(10,)
Q y 2
3
4
5
6
7
10
12 9 6 8
7
5
7 9
8
17 某零件寿命X （单位：月）的分布函数为[]2
140,
0(),
0,21,2t F t t t t t <⎧⎪=-∈⎨⎪>⎩。

零件损坏时更换和预防性更换费用分别为3万元和2万元。

（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。

（2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。

如果不存在，请说明理由。

18. 某零件寿命X 为服从均匀分布的随机变量，假设零件最大使用寿命为6个月。

零件损坏时更换和预防性更换费用分别为5万元和1万元。

（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。

（2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。

如果不存在，请说明理由。

19. .已知泛函
{}1
210(())[()('())],()|()[0,1],(0)0,(1)1J x t x t x t dt S x t x t C x x =+=∈==⎰，
给出该泛函极值的必要条件。

20. 在抢渡长江模型，如果假设流速沿离岸边距离的分布为
2.5/0400400/4008002.5
(1200)/8001200400
()y y y y y v y ≤≤<<-≤≤⎧⎪⎪
=⎨⎪⎪⎩米秒，米米2.5米秒，米米米秒，米米
试用变分法推出人的游泳速度u （常数）、流速v 、起游偏角0θ及游泳偏角θ所满足的欧拉方程。