P594.学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。

学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各宿舍的委员数。

解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。

i 表示各个宿舍（分别取A,B,C ），i p 表示i 宿舍现有住宿人数，i n 表示i 宿舍分配到的委员席位。

首先，我们先按比例分配委员席位。

A 宿舍为:A n =365.2100210237=⨯B 宿舍为:B n =323.3100210333=⨯C 宿舍为:C n =311.4100210432=⨯现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。

5.9361322372=⨯=A Q7.9240433332=⨯=B Q2.9331544322=⨯=C Q经比较可得，最后一席位应分给A 宿舍。

所以，总的席位分配应为：A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。

商人们怎样安全过河由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。

解：用最多乘两人的船，无法安全过河。

所以需要改乘最多三人乘坐的船。

如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对岸回来。

商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。

总共需要9步。

P60液体在水平等直径的管内流动，设两点的压强差ΔP 与下列变量有关：管径d,ρ,v,l,μ,管壁粗糙度Δ，试求ΔP 的表达式解：物理量之间的关系写为为()∆=∆,,,,,μρϕl v d p 。

各个物理量的量纲分别为[]32-=∆MT L p ，[]L d =，[]M L 3-=ρ，[]1-=LT v ，[]L l =，[]11--=MT L μ，Δ是一个无量纲量。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⨯0310100011110010021113173A其中0=Ay 解得()Ty 00012111---=，()Ty 00101102--=，()Ty 01003103--=，()Ty 10000004=所以l v d 2111---=ρπ，μρπ112--=v ，p v ∆=--313ρπ，∆=4π因为()0,,,,,,=∆∆p l v d f μρ与()0,,,4321=ππππF 是等价的，所以ΔP 的表达式为：()213,ππψρv p =∆P771. 在一块边长为m 6的正方形空地上建造一个容积为350m ，深m 5的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为137元和100元，那么水池的最低总造价为多少元？设:建立优化模型。

v 表示为水池容积，h 表示为水池深度，1C 表示水池池底每平方米造价，2C 表示水池池壁每平方米造价，Z 表示总造价，x 表示池底长度，y 表示池底宽度。

解:建立模型:)(221y x h C C hvZ +⋅⋅+=，其中35≥x ，6≤x 。

代入数值，可化简为:xx Z 1000010001370+⨯+=，)635(≤≤x模型求解:使用matlab 编程求解可得: function f=fun(x)f=1370+1000*x+10000/x; endx=5/3:0.1:6;fplot('fun',[5/3,6])[x,fval]=fminbnd('fun',5/3,6) A=vpa(fval,6)其中a 的结果为A = (sym) 7694.56所以水池的最低总造价为7694.56元2. 对边长为m 2的正方形铁板，在4个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，则该如何剪使水槽的容积最大？设:建立优化模型。

v 表示体积，l 表示正方体的边长，x 表示剪去的正方体的边长。

解:建立模型:x x l v ⋅-=2)2(，其中0>x ，1<x 。

代入数值，可化简为:x x x v 48423+-=。

其中)10(<<x 。

模型求解:使用matlab 编程求解可得: function f=fun(x)f=-(4*x^3-8*x^2+4*x); endx=0:0.01:1; fplot('fun',[0:1])[x,fval]=fminbnd('fun',0:1) a=vpa(x,6) b=vpa(fval,6)其中a 与b 的值分别为a =0.333320，b =-0.592593所以水槽的容积最大0.592593立方米。

3. 生产某种电子原件，如果生产一件合格品，可获利200元，如果生产一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是3743+⋅⋅=x xp)(︒∈N x 。

(1)、将该产品的日盈利额t （元）表示为日产量x 的函数 (2)、为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？设:建立优化模型。

x 表示日生产量。

1C 表示为生产一件合格品的获利金额。

2C 表示为生产一件次品损失的金额。

t 表示为日盈利额。

解:建立模型:xp C p x C t 21)1(+-=。

代入数值，可化简为37433002002+⋅-=x x x t 。

模型求解:使用matlab 编程求解可得:function f=fun(x)f=-(200*x-900*x^2/(4*x+37)); endx=0:100;fplot('fun',[0,100])[x,fval]=fminbnd('fun',0,100)其中的结果为: x =18.5000,fval =-925.0000;所以为获最大利润，该厂的日产量应定为19件.1、某饲养场用n 种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对m 种营养成分有一个最低标准，即对m i ， ,2,1=,要求第i 种营养成分在饲料中的含量不少于i b ，若每单位的第j 种原料中含第i 种营养成分的量为ij a ，第j 种原料的单价为j c ，问应如何配制饲料才能是成本最低？解：设原料中j 的量为j x ,j c 为第j 种原料的单价,j b 为第i 种营养成分在饲料中的含量的最低值,z 为配制饲料的最低成本。

目标函数为： Min z =j j nj c x *∑=1S.t. i ij nj b a ≥∑=1，i =1,2,3,...m0≥j x ,j =1,2,3,...n2、拟分配甲，乙，丙，丁4人去做4项工作，每人做且仅做一项。

他们做各自工作的御用天数见下表，应如何分配才能是总用工天数最少？ 天数 工作 1 2 3 4 甲 10 9 7 8 乙 5 8 7 7 丙 5 4 6 5 丁2345解:设i =1,2,3,4分别对应甲乙丙丁，j =1,2,3,4分别对应工作1,2,3,4，其中1=ij x 表示第i 名工人做了第j 分工作，0=ij x 表示第i 名工人没做第j 分工作，ij c 表示第i 名工人做了第j 分工作的天数，z 表示为总用工天数的最小值。

目标函数为: Min ∑∑==*=4141j ij i ijc xzS.t.4,3,2,1,141==∑=j xi ij4,3,2,1,141==∑=i xj ij()1,0∈ij x工人3、某校经预赛选出A ，B ，C ，D 4名学生。

将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛，此次竞赛的4门功课考试将在同一时间进行，因而每人只能参加一门比赛，比赛结果将以团队总分计名次（不计个人名次）。

设下表是4名学生选拔时的成绩，应如何组队较好？课程数学物理化学外语A 90 95 78 83B 85 89 73 80C 93 91 88 79 D79858487解:设i =1,2,3,4分别分别对应同学A,B,C,D ，j =1,2,3,4分别对应数学，物理，化学，外语，其中1=ij x 表示选了第i 名同学的第j 门课程，0=ij x 表示不选择第i 名同学的第j 门课程，ij c 表示第i 名同学做了第j 门功课的成绩，z 表示为成绩之和的最大值。

目标函数为: Max ∑∑==*=4141j ij i ijc xzS.t.4,3,2,1,141==∑=j xi ij4,3,2,1,141==∑=i xj ij()1,0∈ij x8、要从宽度分别为3 m 和5 m 的B1型和B2型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切割出宽度分别为1.5 m ，2.1 m 和2.7 m 的A1型、A2型和A3型3种卷纸3000 m ，10000 m 和6000 m 。

如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少？ 解:找出切割的各种方案； 方案 标准卷纸类型1.52.1 2.7 余料 1 B1 2 0 0 0 2 0 1 0 0.9 3 0 0 1 0.3 4 B2 3 0 0 0.5 5 1 1 0 1.4 6 1 0 1 0.8 7 0 2 0 0.8 8110.2学生设821....,x x x 分别表示方案1到方案8，z 表示剩下的余料面积。

目标函数为:Min 8765432*2.0*8.0*8.0*4.1*5.0*3.0*9.0x x x x x x x z ++++++= S.t 3000)*3*2(*5.16541≥+++x x x x10000*2*1.28752≥+++）（x x x x6000)(*7.2863≥++x x x0,...,821≥x x x9、某储蓄所每天的营业时间是 9:00--17:00。

根据经验，每天不同时间段所需要的服务员人数见表5.27。

表5.27 不同时间段所需要的服务员数量 时间段/h 9-1010-1111-1212-1313-1414-1515-1616-17服务员人数43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬100元，从9:00--17:00工作，但12:00--14:00之间必须安排1h 的午餐时间。

储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h ，报酬40元。

该储蓄所应如何雇佣全时和半时服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？解:设雇佣的全日制服务员为a 人，在12:00到13:00吃饭的全日制服务员为b 人，在13:00到14:00吃饭的全日制服务员为c 人。

54321,,,,x x x x x 分别表示9点，10点，11,点，12点，13点上班的半日制服务员人数，z 表示雇佣的最少费用。

目标函数为:Min )(*40*10054321x x x x x a z +++++= S.t 41≥+x a 321≥++x x a 4321≥+++x x x a 64321≥++++x x x x c 55432≥++++x x x x b6543≥+++x x x a854≥++x x a 85≥+x a354321≤++++x x x x xc b a +=P1534.某工厂生产两种标准件，A 种标准件每个可获利0.3元，B 中标准件每1x 个可获利0.15元。