中考数学专题分类复习：旋转变换旋转变换通常结合全等三角形探索角的数量关系，线段与线段之间的位置关系与数量关系，经常作为作为中等偏难一点的题型出现．旋转的性质有：①旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角；②旋转前后的图形全等；③对应点到旋转中心的距离相等．如图，△ABC绕点O逆时针方向旋转∠AOA′到△A′B′C′的位置，则①旋转角是∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′；②△ABC≌△A′B′C′；③OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′．1.注意旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角；2.抓住旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后的图形全等；3.能够用旋转解题的图形的基本特征是有公共端点且相等的两条线段，这个公共端点往往会是旋转中心．例1.如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )A. 55°B. 70°C. 125°D. 155°【答案】C例2.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM＋ON 的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【精细解读】因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以存在着隐性的有公共端点的相等线段的特征，故可考虑过点P作∠AOB的两边的垂线，再结合旋转的性质求解．如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．例3.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点.（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长．（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接P A、PB、PC，当AC＝3，AB ＝6时，根据此图求P A＋PB＋PC的最小值．【答案】（1）33（2）37∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC＝AD，∵∠ACB＝90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵BP＝3，∴DE＝BP＝3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，22CE=CD DE=369=27=33--；（2）证明：如图所示，1.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是( )A. 6B. 6C. 3D. 3＋3【答案】A【解析】试题解析：连接BC′，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′＝AB′＝3，在Rt△AB′C′中，AC′＝，∴BC′＝3－3，在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝3－3，在直角三角形OBC′中，OC′＝（3－3）＝6－3，∴OD′＝3－OC′＝3－3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′＋OB＋OD′＝6＋3－3＋3－3＝6．故选A．2.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF ＝_________cm．【答案】33.如图，菱形ABCD中，边长为2，∠B＝60°，将△ACD绕点C旋转，当AC（即A′C）与AB交于一点E，CD（即CD′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值，如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.【答案】2＋31.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（）A. 130°B. 150°C. 160°D. 170°【答案】C【解析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可运用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，从而得到答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，∵∠ADA′＝50°，∴∠A′DC＝10°，∴∠DA′B＝130°，∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE＝30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝∠DA′B＋∠BA′E′＝160°．故选C．2.如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下面结论：①为等腰三角形；②；③；④中，正确的是（）A. ①③④B. ①②④C. ②③④D. ①②③④【答案】B3.三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（）A. 32πB.433πC. 2πD. 3π【答案】C4.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′C′B，且BC＝2，那么CC′的长是___________.【答案】2 ；【解析】试题解析：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′C′B，∴BC＝BC′＝2，∠CBC′＝60°，∴△BCC′为等边三角形，∴CC′＝BC＝BC′＝2.5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm2．（结果保留π）．【答案】36π6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则OA＋OB＋OC＝__________．【答案】7【解析】试题解析：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，∴A′B⊥CB，∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB＋∠BOO′＝∠BO′A′＋∠BO′O＝120°＋60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA＋OB＋OC＝A′O′＋OO′＋OC＝A′C＝．7.如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB＝6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为____．【答案】9π8.如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF＝4，AB＝7.（1）旋转中心为______；旋转角度为______；（2）DE的长度为______；（3）指出BE与DF的位置关系如何？并说明理由.【答案】（1）A，90°；（2）3；（3）BE⊥DF，理由见解析.9.如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD＝DE＋CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）DE ＝BD ＋CE ．10.（1）探究：如图，四边形ABCD 中，已知AB AD =， 90BAD ∠=︒，点E F 、分别在边BC CD 、上， 45EAF ∠=︒；①如图1，若B ADC ∠∠、都是直角，把ABE 绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图2，若B D ∠∠、不是直角，则当B D ∠∠、满足数量关系 时，仍有EF BE DF =+；（2）拓展：如图3，在ABC 中， 90BAC ∠=︒， 22AB AC ==，点D E 、均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若1BD =，求DE 的长．【答案】（1）①证明见解析； ②当∠B ＋∠ADC ＝180°时，EF ＝BE ＋DF ；(2) DE ＝53. 【解析】试题分析: （1）①根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，求出∠EAF ＝∠GAF ＝45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；②根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，求出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠F AD ＝∠DAE ＝45°，证△F AD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3−x ，根据勾股定理得出方程，求出x 即可．②当∠B ＋∠ADC ＝180°时，EF ＝BE ＋DF ；把△ACE 旋转到ABF 的位置，连接DF ，则∠F AB ＝∠CAE .∵∠BAC ＝90°，∠DAE ＝45°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝45°，又∵∠F AB ＝∠CAE ，∴∠F AD ＝∠DAE ＝45°，则在△ADF 和△ADE 中， AD ADFAD DAE AF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ADE ，∴DF ＝DE ，∠C ＝∠ABF ＝45°，∴∠BDF ＝90°，∴△BDF 是直角三角形，∴222BD BF DF +=，∴222BD CE DE +=．∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，∴BC ＝4，∵BD ＝1，∴DC ＝3，EC ＝3－DE ，∴()2213DE DE +-=，解得DE ＝53．。