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高考中的数列问题
一、考点自测
1、数列{a n }是公差不为 0 的等差数列，且a 1 , a 3 , a 7 为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为（ ）
1 A.
B.4
C.2
D. 2
2、已知等差数列{a }的前n 项和为S ， a = 5, S = 15 ，则数列
⎧ 1 ⎫
的前 100
n
n
5
5
⎨ a a ⎬ 项和为（ ）
⎩ n n +1 ⎭
100 99
99 101 A. B. C. D. 101
101
100
100
3、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1 ,2S 2 ,3S 3 成等差数列，则等比数列{a n } 的公比为
.
4、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1 = -1, a n +1 = S n S n +1 ，则S n =
.
k n +1
n
a
5、 已知数列 {a n }的前 n 项和为 S n
， 对任意 n ∈ N * 都有 S
= 2
a 3 n - 1 ， 若
3
1 < S < 9(k ∈ N *
) ，则k 的值为 .
二、常见题型
题型一：等差数列、等比数列的综合问题
例 1（ 2016.四川） 已知数列 {a n }的首项为 1， S n 为数列 {a n }的前 n 项和， S = qS +1,其中q > 0,(n ∈ N * ) .
（1） 若a 2 , a 3 , a 2 + a 3 成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
2
y 2
2 2 2
（2） 设双曲线 x -
2
= 1 的离心率为e n ，且e 2 = 2 ，求e 1 + e 2 + + e n .
n
n
方法总结：
变式练习1 已知首项为3 的等比数列{a }不是递减数列，其前n 项和为S ，且
2 n n
S 3 +a
3
, S
5
+a
5
, S
4
+a
4
成等差数列.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设T
n =S
n
-
n
，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.
1
S
题型二：数列的通项与求和
例2 已知数列的前n 项和为S
n
，在数列{b n }中，b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且
a n +S
n
=n .
（1）设c
n =a
n
-1，求证：{c n }是等比数列;
（2）求数列{b n }的通项公式.
方法总结：
变式练习2 已知数列{a n }的前n 项和为S n
（1）证明：数列⎧a n ⎫
是等比数列;
n
，且a
1
=
1
, a
2 n+1
=
n +1
a .
2n n ⎩⎭
⎨⎬
n （2） 求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n .
题型三：数列与其它知识的交汇考点 1、数列与函数的交汇
例 3 已知二次函数 f (x ) = ax 2 + bx 的图像过点（- 4n ,0），且 f ' (0) = 2n ，数列{a }
满足 1 = f ' ( 1
) ，且a = 4
a n +1 a n
（1） 求数列{a n }的通项公式；
（2） 记b n = ，求数列{b n }的前n 项和T n .
a n a n +1 1
n n
考点 2、数列与不等式的交汇 例 4
设 各 项 均 为 正 数 的 数 列
{a n }的 前
n 项 和 为
S n ， 且
S n 满 足
S 2 - (n 2 + n - 3)S - 3(n 2 + n ) = 0 .
（1） 求a 1 的值；
（2） 求数列{a n }的通项公式；
（3） 证明：对一切正整数n ，有 1
+ a 1 (a 1 +1)
1 a
2 (a 2 +1)
+ +
1 a n (a n +1) < 1 . 3
方法总结
变式练习 3 设等差数列{a }的公差为d ，点（a , b ）在函数 f (x ) = 2x 的图像上
n
n
n
（1） 若a 1 = -2 ，点（a 8 ,4b 7）在函数 f (x ) 的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；
（2） 若a = 1，函数 f (x ) 的图像在点（a , b ）处的切线在 x 轴上的截距为2 -
1
，
1
2
2
求数列⎧ a n ⎫
的前n 项和T .
ln 2
⎨ b ⎬ n ⎩ n ⎭。