突破点11 空间中的平行与垂直关系(1)面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线.(2)异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2,所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直.(3)求异面直线所成角的一般步骤为:①找出(或作出)适合题设的角——用平移法;②求——转化为在三角形中求解;③结论——由②所求得的角或其补角即为所求.(1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(3)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.(4)两个平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(1)平行的性质定理;③面面平行的性质定理;④线面垂直的性质定理.(2)证明线面平行的方法:①寻找线线平行,利用线面平行的判定定理;②寻找面面平行,利用面面平行的性质.(3)证明线面垂直的方法:①线面垂直的定义,需要说明直线与平面内的所有直线都垂直;②线面垂直的判定定理;③面面垂直的性质定理.(4)证明面面垂直的方法:①定义法,即证明两个平面所成的二面角为直二面角;②面面垂直的判定定理,即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线.回访1异面直线的性质1.(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32 B.22C.33 D.13A[设平面CB1D1∩平面ABCD=m1.∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为3 2.]2.(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.]回访2面面平行的性质与线面位置关系的判断3.(2013·全国卷Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于lD[根据所给的已知条件作图,如图所示.由图可知α与β相交,且交线平行于l,故选D.]4.(2016·全国甲卷)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)②③④[对于①,α,β可以平行,也可以相交但不垂直,故错误.对于②,由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α,n∥l,又m⊥α,所以m ⊥l,所以m⊥n,故正确.对于③,因为α∥β,所以α,β没有公共点.又m⊂α,所以m,β没有公共点,由线面平行的定义可知m∥β,故正确.对于④,因为m∥n,所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β,所以n与α所成的角和n与β所成的角相等,所以m与α所成的角和n与β所成的角相等,故正确.]题型分析:此类题目综合体现了相关判定定理和性质定理的考查,同时也考查了学生的空间想象能力及转化与化归的思想.(1)(2016·兰州三模)α,β是两平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于点B,CD⊥α于点D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF.现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.【导学号:85952040】①③[若AC⊥β,且EF⊂β,则AC⊥EF,又AB⊥α,且EF⊂α,则AB⊥EF,AB和AC是平面ACDB上的两条相交直线,则EF⊥平面ACDB,则EF⊥BD,①可以成为增加的条件;AC与α,β所成的角相等,AC和EF不一定垂直,可以相交、平行,所以EF与平面ACDB不一定垂直,所以推不出EF与BD垂直,②不能成为增加的条件;由CD⊥α,EF⊂α,得EF⊥CD,所以EF与CD 在β内的射影垂直,又AC与CD在β内的射影在同一直线上,所以EF⊥AC,CD和AC是平面ACDB上的两条相交直线,则EF⊥平面ACDB,则EF⊥BD,③可以成为增加的条件;若AC∥EF,则AC∥α,则BD∥AC,所以BD∥EF,④不能成为增加的条件,故能成为增加条件的序号是①③.]图11-1(2)(2016·全国乙卷)如图11-1,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,P A=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面P AB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.①证明:G是AB的中点;②在图中作出点E在平面P AC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.[解题指导](2)①正投影D,E→AB⊥PD,AB⊥DE→AB⊥平面PED →AB⊥PG②P A⊥PBPB⊥PC→过点E作EF∥PB交P A于点F→证明EF⊥平面P AC→点D在CG上→PE=23PG,DE=13PC→DE=2,PE=22→EF=PF=2→求四面体的体积[解]①证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面P AB内的正投影为E,所以AB⊥DE.1分因为PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.2分又由已知可得,P A=PB,所以G是AB的中点.3分②在平面P AB内,过点E作PB的平行线交P A于点F,F即为E在平面P AC 内的正投影.4分理由如下:由已知可得PB⊥P A,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥P A,EF ⊥PC.又P A∩PC=P,因此EF⊥平面P AC,即点F为E在平面P AC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由①知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.8分由题设可得PC⊥平面P AB,DE⊥平面P AB,所以DE∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC.10分由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且P A=6,可得DE=2,PE=2 2. 在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,11分所以四面体PDEF的体积V=13×12×2×2×2=43.12分在解答空间中线线、线面和面面的位置关系问题时,我们可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例和构建几何模型.判断两直线是异面直线是难点,我们可以依据定义来判定,也可以依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线)判定.而反证法是证明两直线异面的有效方法.提醒:判断直线和平面的位置关系中往往易忽视直线在平面内,而面面位置关系中易忽视两个平面平行.此类问题可以结合长方体中的线面关系找出假命题中的反例.[变式训练1](1)(2016·石家庄二模)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊂α,n∥α,则m∥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;③若α∩β=n,m∥n,则m∥α,m∥β;④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3B[若m⊂α,n∥α,则m,n可能平行或异面,①错误;若α∥β,β∥γ,则α∥γ,又m⊥α,则m⊥γ,②正确;若α∩β=n,m∥n,则m∥α或m∥β或m⊂α或m⊂β,③错误;若α⊥γ,β⊥γ,则α,β可能平行或相交,④错误,则真命题个数为1,故选B.](2)(2016·全国丙卷)如图11-2,四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,P A=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.图11-2①证明MN∥平面P AB;②求四面体N-BCM的体积.[解]①证明:由已知得AM=23AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN =12BC =2.又AD ∥BC ,故TN 綊AM ,2分所以四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ,MN ⊄平面P AB ,所以MN ∥平面P AB .4分②因为P A ⊥平面ABCD ,N 为PC 的中点,所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .如图,取BC 的中点E ,连接AE .由AB =AC =3得AE ⊥BC ,AE =AB 2-BE 2= 5.6分由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5,故S △BCM =12×4×5=2 5.8分所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM =13×S △BCM ×P A 2=453.12分题型分析:(1)度量关系的变化情况.(2)找出其中变化的量和没有变化的量,一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化.(2016·全国甲卷)如图11-3,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE =CF ,EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.图11-3(1)证明:AC ⊥HD ′;(2)若AB =5,AC =6,AE =54,OD ′=22,求五棱锥D ′-ABCFE 的体积.[解] (1)证明:由已知得AC ⊥BD ,AD =CD .1分又由AE =CF 得AE AD =CF CD ,故AC ∥EF .2分由此得EF ⊥HD ,故EF ⊥HD ′,所以AC ⊥HD ′.3分(2)由EF ∥AC 得OH DO =AE AD =14.4分由AB =5,AC =6得DO =BO =AB 2-AO 2=4.所以OH =1,D ′H =DH =3.5分于是OD ′2+OH 2=(22)2+12=9=D ′H 2,故OD ′⊥OH .6分由(1)知AC ⊥HD ′,又AC ⊥BD ,BD ∩HD ′=H ,所以AC ⊥平面BHD ′,于是AC ⊥OD ′.8分又由OD ′⊥OH ,AC ∩OH =O ,所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC =DH DO 得EF =92.10分五边形ABCFE 的面积S =12×6×8-12×92×3=694.11分所以五棱锥D ′-ABCFE 的体积V =13×694×22=2322.12分翻折问题的注意事项1.画好两图:翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图.2.把握关系:即比较翻折前后的图形,准确把握平面图形翻折前后的线线关系,哪些平行与垂直的关系不变,哪些平行与垂直的关系发生变化,这是准确把握几何体结构特征,进行空间线面关系逻辑推理的基础.3.准确定量:即根据平面图形翻折的要求,把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征,这是准确进行计算的基础.[变式训练2] (2016·海淀二模)已知长方形ABCD 中,AD =2,AB =2,E 为AB 的中点.将△ADE 沿DE 折起到△PDE ,得到四棱锥P -BCDE ,如图11-4所示.图11-4(1)若点M 为PC 的中点,求证:BM ∥平面PDE ;(2)当平面PDE ⊥平面BCDE 时,求四棱锥P -BCDE 的体积;(3)求证:DE ⊥PC .[解] (1)证明:取DP 中点F ,连接EF ,FM .因为在△PDC 中,点F ,M 分别是所在边的中点,所以FM 綊12DC .1分又EB 綊12DC ,所以FM 綊EB ,2分所以四边形FEBM 是平行四边形,所以BM ∥EF .3分又EF ⊂平面PDE ,BM ⊄平面PDE .所以BM ∥平面PDE .4分(2)因为平面PDE ⊥平面BCDE ,在△PDE 中,作PO ⊥DE 于点O ,因为平面PDE ∩平面BCDE =DE ,所以PO ⊥平面BCDE .6分在△PDE 中,计算可得PO =63,7分所以V 四棱锥P -BCDE =13Sh =13×12(1+2)×2×63=33.8分(3)证明:在矩形ABCD 中,连接AC 交DE 于点I , 因为tan ∠DEA =2,tan ∠CAB =22,所以∠DEA +∠CAB =π2,所以DE ⊥AC ,9分所以在四棱锥P -BCDE 中,PI ⊥DE ,CI ⊥DE ,10分 又PI ∩CI =I ,所以DE ⊥平面PIC .11分因为PC ⊂平面PIC ,所以DE ⊥PC .12分。