∴
AABC＝
AE AD
.
证法二：∵∠ BAC ＝∠ DAE ，∴∠ BAC －∠ CAE ＝∠ DAE －∠ CAE，即∠ BAE＝∠ CAD .又∵∠ BEA＝∠ DAE ＋
∠ ADE，∠
ADC
＝∠
BDC ＋∠
ADE ，∠
DAE ＝∠
BDC
，∴∠
AEB＝∠
ADC ，∴△
ABE∽△
ACD
，∴
AB＝ AC
解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法
—— 直接法、间接法一网搜罗
◆ 类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明 AB
1．如图， 四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 F，点 E 是 BD 上一点， 且∠ BAC＝∠ BDC ＝∠ DAE .求证： AC
＝
AE AD
.
◆ 类型二 利用等线段代换 2．如图，已知 AD 是△ ABC 的角平分线， EF 垂直平分 AD，交 BC 的延长线于 E，交 AD 于 F .求证：DE 2＝BE ·CE.
CD
，∴
PD PE
＝
DQ EQ
，即
PD ·EQ
＝ PE·DQ .
4．证明： (1) ∵△ ABC 与△ DCE 都是等边三角形，∴ AC＝ BC， CE ＝ CD ，∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 60°，∴∠ ACB ＋∠ ACD ＝∠ DCE ＋∠ ACD ，即∠ BCD ＝∠ ACE，∴△ ACE≌△ BCD (SAS) ；
(1) △ACE≌△ BCD；
(2)
AG GC
＝
AF FE
.
ABC 与△ DCE 都是等边三角形．其中线段
BD 交
解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法
1．证明：证法一：∵∠ BAC＝∠ DAE ，∴∠ BAC－∠ CAE＝∠ DAE －∠ CAE，即∠ BAE＝∠ CAD.又∵∠ BAC＝ ∠ BDC，∠ BFA＝∠ CFD ，∴ 180°－∠ BAC－∠ BFA＝180°－∠ BDC －∠ CFD ，即∠ ABE＝∠ ACD ，∴△ ABE∽△ ACD ，
CE AE ＝ BE·CE，∴ DE 2＝ BE·CE.
3．证明：∵
AE∥ DC，∴∠
QDC ＝∠
E，∠ QCD
＝∠ QAE，∴△
QCD
∽△
QAE
，∴
DQ EQ
＝
CD AE
.
∵AE∥BD
，∴∠
B
＝∠
PAE，∠
BDP
＝∠
AEP，∴△
BDP
∽△
AEP，∴PPDE
＝
BD AE.∵点
D为
BC
的中点，
∴
BD ＝
(2) ∵△ ABC 与△ DCE 都是等边三角形，∴
AB＝ AC，CD ＝ ED，∠ ABC
＝∠
DCE
＝
60
°，∴
AB CD
＝AC EDFra bibliotek，AB∥
DC
，
∴∠ ABG
＝∠ GDC ，∠ BAG＝∠ GCD, ∴△ ABG∽△ CDG ，∴ AG＝ AB，同理可得 GC CD
AF FE
＝
AC ED
.∴
AG GC
◆ 类型三 找中间比利用等积式代换 3．如图，在△ ABC 中，点 D 为 BC 的中点，AE∥ BC，ED 交 AB 于 P，交 AC 的延长线于 Q.求证：PD·EQ＝ PE·DQ .
4． (滨州中考 )如图，已知 B、 C、E 三点在同一条直线上，△
AC 于点 G，线段 AE 交 CD 于点 F .求证：
＝AFFE.
AE AD .
2．证明：连接 AE .∵EF 垂直平分 AD ，∴ AE＝ DE，∴∠ DAE ＝∠ 4.∵ AD 是△ ABC 的角平分线，∴∠ 1＝ ∠ 2.∵∠ DAE ＝∠ 2＋∠ 3，∠ 4＝∠ B＋∠ 1，∴∠ B＝∠ 3.又∵∠ BEA＝∠ AEC，∴△ BEA ∽△ AEC，∴ AE＝ BE，∴AE 2