2015 年温州中学自主招生素质测试数学试题（本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．1．关于反比例函数y 4的图象，下列说法正确的是（▲）xA．必经过点（ 1，1）B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x 轴成轴对称D．两个分支关于原点成中心对称2．已知x 2是二元一次方程组ax by7的解，则 a b 的值为（▲）y 1 ax by 1A．1B． 1C． 2 D． 33．已知平面上的n个点，任三个点都能构成直角三AM角形，则 n 的最大值为（▲）OA．3B．4C．5D．6 B ND C4．如图 1，AC、BC为半径为1的⊙ O 的弦，D 为 BC 图 1上动点，M 、N 分别为 AD 、BD 的中点，则 sin ACB 的值可表示为（▲）A．DN B．DM C．MN D．CD5．已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和黑球的数量均多于3个．从乙盒中随机抽取 i i 1,2 个球放入甲盒中．放入 i 个球后，从甲盒中取 1个球是白球的概率记为 p i i 1,2 ，则（▲）A ．p1p2，B． p1p2，C． p1p2，D．以上均有可能6．已知 5 个实数 a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 满足 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ，且对任意的正整数 i, j 1 i j5 ，均存在 k k1,2,3,4,5 ，使得 a ka ja i ．① a 1 0 ；② a 5 4a 2 ；③ a 32 a 2 a 4 ；④当 1 ij 5 时， a ia j 的可能值共有 9个．则上述论断正确的有（▲）个．AFA ．1B ．2C ．3D ．4A 17．二元方程 x 3 y 3 x 2 y 2 的正整数解的组数为E （▲）B 1C 1BDCA ． 1B ． 2C ．3D ．4图 28．如图 2，点 D , E, F 分别是 ABC 三边上点，且满足 CD 4DB ，， ，、 、 两两分别交于 1 、 1 、 1，若 AE 4EC BF4FA AD BE CF A B CABC的面积为 1，则 A 1B 1C 1 的面积为（▲）A ．1B ． 3C ．3D ．167 16 731二、填空题： 本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分．请将答案填在答题卷的相应位置．9．设 20153 的小数部分为 a ， 2015 3 的小数部分为 b ，则a 1b 2 的值为▲．10．若实数 a,b 满足 a 2 b 2 1 ，则 a b max{ a,b} 的最大值为▲．（其中 max{ a, b} 表示 a, b 中的较大者）11． 6 名儿童分坐两排，每排 3 人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻，也不可面对面，有▲种排法．12．如图 3，已知正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 的棱长为 1， M 为棱 C 1D 1 的中点，点 P 为平面 A 1BCD 1 上的动点，则 MP B 1 P 的最小值为▲．13．若正实数 a, b, c 满足 11 1 2015 ，则 ( ab)(b c)(c a) 的值为 a bca b cabc▲．14．如图 4 是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是 2 的数字，可使其成为正确的算式，那么所得的乘积是▲．D 1 MC 1A 1B 1×115．对于任意的 0 x1 ，有 ax b1，则对于任意的 0 x， bx a2 2P的最大值 DC2 2为▲． AB图 3图 42015 年温州中学自主招生素质测试数学试题答题卷一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 题12345678号答案二、填空题： 本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分．9．； 10．； 11．；12．； 13．； 14．；15．；三、解答题：（本大题共 5 小题， 16 题 8 分， 17、18、19、20 题各15 分，共 68 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在函数y 4 x2 6 x中，求自变量x的取值范围．17．如图 5，M , A, B, C为抛物线y ax2上不同的四点，M 2,1 ，线段MA, MB , MC 与y轴的交点分别为E, F , G ，且EF FG 1，（1）若F的坐标为0,t ，求点 B 的坐标（用t表示）；（2）若AMB 的面积是BMC 面积的1，求直2线 MB 的解析式．.18．如图 6，在ABC 中，BAC 的平分线交 BCyCGBFME A xO图 5于点 M ，点 D 、E 分别为ABC 的内切圆在边AB 、AC 上的切点，点A I1、I 2分别为ABM 与ACM 的内心．求证： DI 12EI 22I1I 22． D19．试求出所有的正整数k，使得对一切奇数n10 ，数16n5n均可被 Ek 整除．I 1 I 2B MC 20．如图 7，在ABC中，AD为边BC上的高，DE AB 于点 E ，DF AC图 6于点 F ，EF 与 AD交于G点， BEGA与CFG 的外心分别为O1和O2，求证： O1O2 // BC ．温州中学 2014 年自主招生综合素质测试笔试FGEB D CO1O2图 7数学试题答题卷二、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．题12345678 号答D A B C A C A C案二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分．9．2；10． 5 ；11．384；12．3；13．2014；14．30096；215．4三、解答题：（本大题共 5 小题， 16 题 8 分， 17、18、19、20 题各15 分，共 68 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在函数y4x2 6 x 中，求自变量x的取值范围解：2,0 U 6,817．如图，M , A, B, C为抛物线y ax2上不同的四点，M 2,1 ，线段MA, MB , MC 与y轴的交点分别为E, F , G ，且EF FG 1，（1）若F的坐标为0,t，求点B的坐标（用t表示）；（2）若AMB的面积是BMC 面积的1，求直线2MB 的解析式.解：（ 1）∵F 0,t，∴可设直线MB的解析式为y kx t ，由点由点M 2,1 在抛物线 y ax 2上得a1，∴ y 1 x24 4 M 2,1 在直线 MB 上得 1 2k t将 y kx t 代入y 1x2整理得：x2 4kx 4t 0 4∴ x M x B 4t 即 2 x B4t ，∴ x B 2t ，从而得 y B t 2 故所求点 B 的坐标为2t, t 2（2）（解法一）∵ F 0,t ，∴ E 0,t 1 ， G 0,t 1 由（ 1）同理可得点A 2(t 1),(t 1)2， C 2(t 1),(t 1)2 SAMB t 2 t， S CMB t 2 3t 2 ∵ AMB 的面积是 BMC 面积的1，21∴ t 2 3t 2 2(t2 t ) ，解得t 2或t 1（舍去）∴ k1 x 2∴所求直线 MB 的解析式为 y 2 ，2（解法二）过点 A 作 y 轴的平行线分别交MB,MC 于 L,H ，由EF FG得HL AL，∴SAMBSHMB，又∵SCMB2SAMB∴SHBCSHMB∴点 H 为 MC 的中点，2x A 2x H x M x C即 4(t 1) 2 2(t 1) 解得t 2从而k 121 x∴所求直线 MB 的解析式为 y 2218．如图，在ABC中，BAC的平分线交BC于点M，点D、E分别为 ABC 的内切圆在边 AB 、 AC 上的切点，点I1、I2分别为与 ABM 与A ACM 的内心．求证：DI1 2 EI 2 2 I1I 2 2 ．DEI 1I2解：设ABC 的内切圆在边BC 上的切点为 F ，I1, I2在边 BC 上的射影分别为 P,Q．连接 I1P ，I2Q ，I1M ，I2M ， I1F ，I2F ．由内心性质知所以 PM QF易知 I1M I2M ，从而 I 1PM ∽ MQI 2所以 I1P I1 P PM FQ，从而 I1PF ∽ FQI 2PF MQ I 2 Q I 2Q从而易得 I1F I2F ，又 I 1F I1D ， I2F I2E所以 I1I 22 DI 12 EI22．19．试求出所有的正整数k，使得对一切奇数n10 ，数16n5n均可被k 整除解： 16n 5n 16 5 16n 1 16n 1 5 L 5n 1 21 16n 1 16n 1 5 L 5n 1故有 2116n 5n，故k 1,3,7,21均满足条件；下证，对于其他的正整数k 均不满足条件。

若k 1,3,7,21 ，但是有k 16n 5n，则 k 1611 511， k 1613 513，故有k 1621611 511 1613 513，即k 231 511。

显然， k 不能整除5，故只有 k 231。

231 11 7 3考虑 k 11，16n 5n 2 5n 0 mod11 。

故只有 k 1,3,7,21 。

20．如图，在ABC中，AD为边BC上的高，DE AB 于点 E ，DF AC 于点 F ，EF 与 AD 交于 G 点， BEG 与 CFG 的外心分别为O1和O2 ，求A证： O1O2 // BC ．FGEB D C证明：延长 AD 交ABC 的外接圆于 H ，连接易知A,E, D,F 四点共圆所以AEF ADFACDAHB故 E,G,H , B 四点共圆同理， F ,G, H ,C 四点共圆所以GH 为圆O1,O2的公共弦B 故 O1O2 GH又GH BC所以 O1O2 // BC . BH ,CHAFGEDC O1O2H。