金融学家和数学家竟然花了半个多世纪的时间。

数理金融学的两大突破都用到了非常深刻的数学工具。
前者需要近20 年发展起来的随机分析; 后者更是为数学家提
出了许多新问题。

三、金融数学的分支
金融与金融数学的交叉使得金融数学的范畴不能完全确 定，一般认为，金融数学包括两个分支： 规范金融数学； 实证金融数学 所谓规范金融数学，强调运用高等数学、最优化、概率 论、微分方程等知识对金融理论和金融问题进行研究，比如， 两次华尔街革命的结果：资产组合问题和期权定价公式； 所谓实证金融数学，强调运用统计学、计量经济学、时 间序列分析等知识对金融理论和金融问题进行假设检验，从 而得出一些经验性结论，比如资产定价模型的检验、行 为金融学的检验等。

（5）最优停时理论 最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域, 70 年代以后得到蓬勃发展。近几年, 在国内也有一些学者开 始关注并从事这一领域的研究，也取得了可喜的成果。在国
内有关这方面的研究尚不多见。相信运用最优停时理论来研
究投资决策问题和风险最小化问题会有更大的进展。

（6）人工智能
把智能化方法(遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络) 和传统方法结合起来,应用于金融经济学中是另一个具有更为 广阔的研究领域,给我们提供了广泛的研究课题。国际上有关 这方面的研究已经有了初步的成果, 在国内也有一大批学者致
力于这方面的研究。相信金融学家、控制专家和智能专家们 通力合作 ,在这一领域一定能取得突破性的进展。

由于所研究问题的复杂性 ,单纯的描述型方法已不适应 现代金融学研究的需要。现代金融学已从单纯的描述型学 科转变成分析型学科，通过建立证券市场的数学模型, 研 究其运行规律, 并正在向工程化阶段转变。人们把研制、 开发和实施新型金融产品的科学称为金融工程。而把相应 的数学上的建模、分析、计算称为金融数学。金融工程是 金融创新实现的手段, 金融数学是金融工程的基础, 并促 使金融工具不断创新。 21 世纪中国经济与金融领域研究的一个重大转变，就 是数量方法的研究被越来越广泛地应用。数量方法在金融 中的大量应用使得数学与金融的联系变得密不可分，由 此产生了金融数学这门交叉学科。

随着金融相关问题研究方式的转变，我国高校金融学专 业的教学方式也发生了变革，金融学科普遍加强了数量方法 类课程的设置，金融数学往往是被优先考虑的课程。现在很 多综合性大学数学系也逐渐增设金融数学专业。 金融数学在我国的发展不仅是我国开展金融理论研究的 需求，而实践的需求也进一步推动了金融数学学科的发展。 因此，金融数学是连接数学与金融问题的一座桥梁。

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金融指数等的权利。持有这样的一份合约等于是获得了一个 现在还无法确定的收益。比如, 对一份标准的欧式看涨期权
只在到期时刻才能执行 , 如果到执行时刻时标的资产的价格 高于执行价格, 那么该期权的收益就是差价。否则, 收益为零。 那么 , 期权买方该向卖方支付多少“ 期权费” 以获得这种 权利这就是期权定价” 问题，为了获得准确的期权定价公式,

第一次华尔街革命：静态投资组合选择理论
在上世纪初 , 金融学就已作为一门独立的学科而存在, 其关注点在于机制和法律方面, 没有精致数量分析，一般认为 金融学从一门描述性的科学向分析型的科学的转变始于马柯 维茨在 1952年提出的关于投资组合的“ 均值一方差”理论。 该理论为风险和回报的权衡提供了可行的量化手段。考虑这 样的问题假如某投资者同时对多种股票进行投资, 那么为减少 风险 , 怎样的投资组合将是最好的，即“买什么”和“卖多少” 为此 ,他们引入了定量的方法, 把投资组合中的股票价格视

为随机变量, 以它的均值来衡量收益, 以它的方差来衡量风 险 ,利用相关关系数表示证券之间的关联情况。方差反映了
收益的不确定性, 方差越大, 表示实际收益与期望收益的差
异越大。求收益一定而风险最小,或者, 风险一定而收益最大
的投资组合问题 ,就归结为一个线性约束下的二次规划问题。

（3）脉冲最优控制理论
在证券投资决策问题中,实际上投资者的交易速率不是有
界的 ,也不是频繁改变的,因此 ,用连续时间随机控制问题来研 究 ,仅仅是一种近似,使得问题变得更容易处理,但是,事实上往 往与实际问题有较大的距离。因此,若用脉冲最优控制方法研 究证券投资决策问题也许更为合适。
金融数学
熊伟 李广辉 郑强

一、金融数学介绍
金融数学是一门新兴的边缘科学, 是数学与金融学的 交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的, 其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资 产的定价理论。 近年来, 由于金融理论的长足进步、现代信息技术的 飞速发展以及金融市场的动荡, 金融创新步伐日益加快, 新 的金融产品、金融服务在市场上层出不穷，资金的流动也显 著加快。金融市场运行的规律、资产的定价、风险管理以及 投资决策分析显得空前重要, 这些问题是现代金融理论与实 践中的核心问题。

四、金融数学的基础理论和最新进展
基础理论：
（ 1）证券组合的选择理论； （ 2）资本性资产的定价理论（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）； （ 3）套利定价理论（APT，Arbitrage Pricing Theory）
（4） Black-Scholes 期权定价公式； （5）M-M理论。
进行的经济最优增长问题。从此以后,随机最优控制方 法已经应用到多数的金融经济学领域。

（2）鞅理论 现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在金融 市场是有效的假定下,证券（股票）的价格可以等价于一个鞅 随机过程。由Karatzas 和 Shreve年等 1999人倡导的鞅方法 直接把鞅理论引入到现代金融理论中 ,利用等价鞅测度的概念 研究衍生证券的定价问题,得到的结果不仅能深刻揭示金融市 场的运行规律,而且可以提供一套有效的算法,求解复杂的衍生 金融产品的定价与风险管理问题。利用鞅理论研究金融理论 的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生 证券定价问题,从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目 前 ,虽然鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主 导地位 ,但在国内还很弱。

（4）微分对策理论 近几年 , 一些学者运用微分对策方法研究期权定价问题和 投资决策问题。大家知道, 任何事物都有发生、发展和消亡的 过程 ,正因为如此,社会经济发展具有周期性,行业发展和企业 发展也具有周期性,因此,投资者的投资行为、投资方向也在变 化。在这种情况下,使用传统方法研究投资策略问题就显得力 不从心了 ,若用最优转换控制方法或具有转换策略的微分对策 方法可能具有更为广泛的应用前景。因此，重复对策、随机 对策、多人对策理论在证券投资决策问题中的应用研究是值 得重视的。

五、学习金融数学的意义
金融数学是发展最快的现代应用数学分支之一。金融安全是 国家安全的重要方面，建立和发展金融数学、金融工程和金融 管理的高科技体系是当前的一项重要任务，具有特别重要的意 义，如果不掌握这些金融高科技, 就可能在国际金融竞争中蒙 受重大损失。我国已把“金融数学、金融工程和金融管理”列 为重大科研项目, 受到各方面的极大关注，越来越多的研究者 加入到这些研究的行列。 在最近的十几年里，金融数学的研究更是受到学术界、国际 金融界前所未有的重视。人们越来越深刻的认识到，数学已成 为金融学研究中随处可见的关键技术。一大批从事数学、 物理研究的有识之士转向金融学的研究，给金融学

数量方法在经济金融学中的最新进展：
（ 1） 随机最优控制理论：
随机最优控制理论是在相当近的时期得到发展的，它 是解决金融学中随机性问题的重要手段，是数学家们在上 世纪 60 年代和 70 年代初对于这一新的数学研究领域做出 的重要贡献。经济学家们对于随机最优控制的理论方法的 吸收十分迅速。上世纪 70 年代初开始出现了几篇经济学论 文 , 其中有Merton使用连续时间方法论述消费和资产组合的 问题 , 有 Brock 和Mirman在不确定情况下使用离散时间方法

分方程、非线性分析、多元统计分析、数学规则、动力系统、 泛函分析、微分拓扑、微分几何现代计算方法等都在金融经 济学中（如资产组合选择、金融衍生工具的设计与定价、风 险分析与管理、套期保值决策以及敏感度分析）找到了用武 之地。这对数学界的影响就是吸引了许多数学家投身到金融 经济学的研究中去。 数学给金融经济学带来了巨大的活力, 而金融学又为数学 的应用提供了又一片广阔的天地。大量所谓的“火箭专家”, 指数学家、统计学家、物理学家和计算机专家等涌入华尔街, 成为受到金融家热烈欢迎的精英人才, 在金融机构中发 挥着重要作用。

的研究带来了巨大的活力，以至于近几年来, 发达国家的证 券交易机构成了数学博士的主要去向之一；同时，金融学的 发展也为数学知识和技巧的运用提供了重要的平台。 因此，金融数学与金融工程一样，都是金融学的基础。 金融数学既是经济学专业与管理学专业的必修课程，也是数 学科学专业的基础课程。目前，国外在金融数学方面的教学 与研究发展都较快。金融数学是一门新兴学科，是“金融高 技术”的重要组成部分，因此研究金融数学有着重要的意义。



股票（ A股，B股，H股， N股，S股） 债卷（国债，金融债卷，公司债卷，企业债卷） 基金（债卷基金80%，股票基金60%，货币债卷 100%） 金融衍生品（金融远期合约，金融期货，金融期 权，金融互换，结构化金融衍生工具） 证劵市场（上海，深圳） 期货市场（上海期货交易所，大连商品交易所 郑州商品交易所，中国金融期货交易所） 黄金市场 外汇市场

二、两次华尔街革命与金融数学的产生
1952年, 马柯维茨的投资组合选择理论引发了所谓的第一 次华尔街革命。60年代中期, 夏普提出著名的资本资产定价模 型。马柯维茨和夏普因此获得1990年诺贝尔经济学奖。1973 年 , 布莱克、斯科尔斯和默顿建立的期权定价理论是金融理论 的另一次革命性成果, 引发了第二次华尔街革命。默顿和斯科 尔斯因此获得了1997年诺贝尔经济学奖（布莱克于1995年英 年早逝 ,未能分享此项殊荣）。作为这两次华尔街革命的产物, 金融数学蓬勃发展起来 ,成为当前发展最快的应用数学分支之 一 , 被称为现代金融中的高技术。许多非常抽象、非常深奥的 现代数学理论与方法例如随机分析、随机最优控制、偏微