2－5 求图示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。 解：（力法）静平衡时有： mg k （Δ为弹簧的伸长量）
M, r F F k x mg
假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆 盘沿逆时针方向转过x/r角
质量m 圆盘M
mx mg F
F’
Mr 2 x Fr k ( x )r 2 r
d 2 P cL2 3 dt
d U V P 0 dt
动能
耗散能
由能量守恒原理 化简得
2 2 2 2 m1L1 m2 L2 m L L cL m gL k L L 0 2 3 3 4 3 2 2 3 4 x
m L2 m L2 m L L 2 1 2 3 3 4 2 1 m1gL1 m2 gL2 m3g L3 L4 kL3 L4 k L3 L4 2 cL2 3
2 2 2 2 2 m L m L m L L cL m gL k L L 0 化简得 1 1 2 2 3 3 4 3 2 2 3 4
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0 势能
m1和m3参与静平衡， 1 2 U k[( L3 L4 ) ] m2 gL2 (1 cos ) 重力势能抵消了弹 2 簧静变形的势能。 1 1 1 2 2 V m1 ( L1 ) m2 ( L2 ) m3[( L3 L4 ) ]2 2 2 2
3EI
FL3 3EI kb F / x F / 3EI L3
而系统的等效刚度相当于悬臂 梁的等效刚度与弹簧k串联
ke kkb 3EIk k kb 3EI kL3
系统的等效质量 me m
计算系统等效刚度、等效质量的方法 1）计算等效刚度的原则是利用等效前后系统弹性势 能不变。但通常只需根据刚度的定义即可算出。即： 在质量上施加外力F，使其发生位移x，则ke=F/x。 2）计算等效质量的原则是利用等效前后系统动能不 变。即：令弹簧以速度x 发生变形，
x(t ) n A cos(nt )
速度幅值 xmax n A
2 A 加速度幅值 xmax n
2 Asin(nt ) 加速度 x(t ) n
由题意，fn 10 Hz, xmax 4.57 m/s
所以，圆频率 n 2 fn 20
A xmax 0.072734 m
注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即 P cxdx
0
dP dP dx cx x cx 2 所以 dt dx dt
2－7 求图示系统的振动微分方程。（刚性杆质量忽 略） 解：（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0 动能
1 r2 a 1 2 U k k r 势能 1 2 2 2 b 2
拍频为1Hz
-13 0
2－2 如图所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆 由两根刚度为 k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的 微分方程。 解：（力法）假设杆顺时针偏转了θ角， 则杆受到重力 mg 和弹簧弹力 F 产生的 力矩（均为逆时针方向）,其中F为两边 弹簧弹力之和 L
F满足 静平衡关系mg k
可见，计算势能时，若系统静平衡时已有弹簧 x 发生静变形，则参与静平衡的质量的重力势能 恰好与弹簧静变形的弹性势能抵消，可以不写。
2 2 x 1 Mr 2 1 mx V 动能 2 2 r 2 d 由能量守恒原理 dt (U V ) 0 M kx 0 m x 化简得 2
i
θ
F
由动量矩定理 J Ti
mL L L F cos mg sin 得 3 2 2 又由于 sin , cos 1
2
mg
上式可化简为
m mg k 0 3 2L 2
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0。当 杆顺时针偏转θ角时 势能 动能
10
振幅为10 拍频为2Hz
10cos(2 t )
0.5 1 1.5 2
0
拍的周期为 0.5s（不是1s）
-10 0
补充 若两简谐运动振幅和频率都不同：
X 1 cos t X 2 cos t X 2 cos t X 2 cos( )t x x1 x2 X 1 cos t X 2 cos( )t

当ε<< ω时， x1 x2 2 X cos( 2 t ) cos t
可变振幅

2 t) 2
10cos(2 t )
f 拍振的振幅为2X，拍频为 （不是 ） 2 4 例：当=80， =4，X 5时，x1 x2 10cos(2 t )cos(80 t )
2 t
Amax Amin 2 X 2（假设X2较小），拍频为 f
例：当 =80， =4，X1 8，X 2 5时，
13
2
x1 x2 3 10cos(2 t ) cos(80 t )
0
振幅为13
3 10cos(2 t )
0.5 1 1.5 2
绕质心转动 随质心平动
2
2
而等效系统的动能：Ve
由Ve=V，得
1 me x 2 2 1 1 me m 2 1 n 3n
2－13 如图所示，悬臂梁长度为L，弯曲刚度为EI， 质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。 解：当悬臂梁在自由端受到弯曲力F时，自由端的 FL3 位移为 x ，所以悬臂梁自由端的等效刚度为
m1参与静平衡，重力势能抵消了弹簧k1和 k2静变形的势能。 d 由能量守恒原理 (U V ) 0 dt
2
2 a 2 2 2 2 化简得 J Mr2 m1r1 k1 2 r2 k2 r2 0 b
2－11 求图所示系统对于广义坐标 x 的等效刚度。 解：对小车m沿x方向施加作用力F，使小车产生位移 x。则弹簧k1伸长 x cos，弹簧k2伸长 ax / b 。小车受力
2 1 L L U 2 k sin mg 1 cos 2 2 2 1 2 1 mL2 2 V J 2 2 3
由能量守恒原理
d (U V ) 0 dt
θ
2 kL2 L mL mg sin 0 2 2 3
《机械振动学》习题解答（一）
陈一凡
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2012-04-13
1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s， 求其振幅、周期和最大加速度。 解：简谐振动的位移 x(t ) Asin(nt ) 速度
3）计算系统等效刚度时，也可“分部”计算，即： 把系统分成几个部分，计算每部分的等效刚度，再把 各个刚度串联或并联起来。
3－1 如图所示，设杆a和杆b为质量和转动惯矩可忽 略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。 xa x1 x2 / 2 求质量m上、下振动的固有频率。
解：在a点施加竖直作用力Fa，使其产生位移 xa，并设此时k1变形x1，k2变形x2。由杆a受到 的力矩平衡，知 k1 x1 k2 x2。所以a点等效刚度
振幅
n
周期 T 1/ fn 0.1 s
最大加速度
2 xmax n A n xmax 287.14 m/s2
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台 面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可 有多大？ 解：对物体受力分析
mg N mx
N 物体 台面
当 N = 0 时，物体开始脱离台面， 此时台面的加速度为最大值。即
可变振幅 A(t ) X 1 X 2 2 X 2 cos 拍振的振幅为
X 1 X 2 cos t 2 X 2 cos t cos t X 1 X 2 2 X 2 cos t cos t 2 2 可变振幅
1 1 Fa k1 x1 k2 x2 2k2 x2 ka 4 xa x1 x2 / 2 k2 x2 / k1 x2 / 2 k1 k2 1 1 1 1 1 ka与k3串联后的等效刚度为 ka 3 1 1 ka k3 4k1 4k2 k3
F F1 cos F2
F F2
F1
其中
F1 k1 x cos
F2b F2a k2 ax / b a F2 k2 xa 2 / b 2
所以等效刚度
F2
ke F / x k1 cos2 k2a2 / b2
F2
2－12 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆，在距 左端O为 nL 处设一支承点，如图所示。求杆对O点 的等效质量。
M kx 0 x 联立得 2 m 考虑 若假设弹簧相对于平衡位置缩短x，会如何？
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0， 当弹簧相对于平衡位置伸长x时 势能
U 1 1 k x 2 k2 mgx 2 2 1 1 kx 2 kx mgx kx 2 2 2
化简得
m mg k 0 3 2L 2
列系统微分方程的一般步骤 力法 1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）； 2）分析系统受到的所有力 Fi（或力矩 Ti）； 3）由牛顿第二定律 Fi mx（或动量矩定理 Ti J ） i i 列方程。
mg mxmax
2 xmax n A 2 A g / n