2020年中考数学全等三角形专题复习讲义一、基础达标训练1. 下列说法正确的是()A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形C. 两个等边三角形是全等三角形D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形2. 如图，在△AB C和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后，能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF()第2题图A. ∠A＝∠DB. ∠ACB＝∠DFEC. AC＝DFD. BE＝CF3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠F AB ＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，其中正确结论的个数是()第3题图第4题图4.如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为()A. 14B. 13C. 12D. 105.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件________使得△ABC≌△DEF.第5题图第6题图6. 如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC＝3，那么OD的长为________．7.△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．第8题图8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝12AC·BD. 正确的是__________．(填写所有正确结论的序号)9.如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF. 求证：∠ABC＝∠DEF.第9题图10. 如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：AC∥BD.第10题图11. 已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别为边AB、AC的中点．求证：BE＝CD.第11题图12.已知△ABN和△ACM位置如图，AB＝AC＝3，BD＝CE＝2，∠B＝∠C.(1)求证：∠1＝∠2；(2)若CM∥A B，求线段CM的长度．第12题图13. 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．第13题图14.如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．第14题图15. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE ＝DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．第15题图16. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别是AC、BC上的两点，AD ＝CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)若BP＝6，求PF的长．第16题图二、能力提升训练1. 在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA 的延长线于点F，若BF＝12，则△FBC的面积为()A. 40B. 46C. 48D. 50第1题图第2题图2. 如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC 交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有()①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. 如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1第3题图4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.(1)如图①，若AB＝42，BE＝5，求AE的长；(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.第4题图5. 注重开放探究(9分)已知四边形ABCD中，AB＝AD, AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过点A作AH⊥CD于H，交BE于F.(1)如图①，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；(2)如图②，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．第5题图三、拓展培优训练如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝35°，BC＝AI＋AC，则∠B A C的度数为________．第1题图参考答案1. D2. D3. C4. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AD ∥BC ，∴∠DAC＝∠ACB ，在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠DAC ＝∠ACBOA ＝OC∠AOE ＝∠COF，∴△OAE ≌△OCF (ASA )，∴CF ＝AE ，OE ＝OF ，∵OE ＝1.5，∴EF ＝2OE ＝3，∵▱ABC D 的周长为18，∴AD ＋DC ＝9，∴四边形EFCD 的周长＝DE ＋EF ＋CF ＋C D ＝DE ＋AE ＋CD ＋EF ＝AD ＋CD ＋EF ＝9＋3＝12.5. AC ＝DF (答案不唯一) 【解析】∵FB ＝CE ，∴B C ＝EF ，∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，由三角形全等的判定定理可知添加的条件为：AC ＝DF (SAS )或∠B ＝∠E (ASA )或∠A ＝∠D (AAS )．6. 1.5 【解析】如解图，连接AD ，∵Rt △ABC ≌Rt △DCB ，∴∠ABC ＝∠BCD＝90°，且AB ＝CD ，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴OD ＝12BD ＝12AC＝1.5.第6题解图7. 1＜m ＜4 【解析】如解图，延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∵在△ABD 和△ECD 中，BD ＝CD ，DE ＝AD ，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ABD ≌△ECD ，∴AB ＝EC ，∴在△AEC 中，AC ＋EC ＞AE ，且EC －AC ＜AE ，即AB ＋AC ＞2AD ，AB －AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，即1＜m ＜4.第7题解图8. ①④ 【解析】在△ABC 与△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝ADBC ＝DC AC ＝AC，∴△ABC ≌△A D C(SSS )，∴∠ABC ＝∠ADC ，故①正确；∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ，∴AC 平分∠BAD 和∠BCD ，而AB 与BC 不一定相等，∴BD 不一定平分∠ABC 和∠ADC ，故③错误；又∵AB ＝AD ，∠BAC ＝∠CAD ，∴OB ＝OD ，∴AC ，BD 互相垂直，但不互相平分，故②错误；∵AC ，BD 互相垂直，∴四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·B O ＋12AC ·OD ＝12AC ·BD .故④正确，综上所述，正确的结论是①④.9. 证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DEBC ＝EF AC ＝DF，∴△ABC ≌△DEF (SSS )∴∠ABC ＝∠DEF .10. 证明：∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，∴∠AFC ＝∠BED ＝90°，又∵AE ＝BF ，∴A E ＋EF ＝BF ＋EF ，∴AF ＝BE ，在△ACF 和△BDE 中，⎩⎨⎧AF ＝BE∠AFC ＝∠BED CF ＝DE，∴△ACF ≌△BDE (SAS )，∴∠A ＝∠B ，∴AC ∥BD .11. 证明：∵∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC ，∵点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，∴BD ＝12AB ，CE ＝12AC ，∴BD ＝CE ，又∵∠ABC ＝∠ACB ，BC ＝CB ， ∴△CBE ≌△BCD (SAS )，∴BE ＝CD .12. (1)证明：在△ABD 与△ACE 中， ⎩⎨⎧AB ＝AC∠B ＝∠C BD ＝CE，∴△ABD ≌△ACE(SAS )，∴∠1＝∠2；(2)解：∵CM ∥AB ，∴∠M ＝∠1，又∵∠C ＝∠B ，∴△AMC ∽△DAB ，∴MC AB ＝AC BD ，∴MC ＝AB·AC BD ＝92.13. (1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD ＝∠BOE ，在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ，∴∠BEO ＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO ，∴∠AEC ＝∠BED ，在△AEC 和△BED 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠BAE ＝BE∠AEC ＝∠BED， ∴△AEC ≌△BED (ASA )；(2)解：∵△AEC ≌△BED ，∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ，∵在△EDC 中，EC ＝ED ，∠1＝42°，∴∠C ＝∠EDC ＝69°，∴∠B D E ＝∠C ＝69°.14. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠CFE ，又∵∠A E D ＝∠FEC ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE (AAS )；(2)解：由(1)知，△ADE ≌△FCE ，∴AD ＝FC ，∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB ＝FB ，∴∠BAF ＝∠F ＝36°，∴∠B ＝180°－2×36°＝108°.15. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴在△ABE 与△CDF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD∠ABE ＝∠CDF BE ＝DF，∴△ABE ≌△CDF (SAS )，∴AE ＝CF ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OB ，∵∠COD ＝60°，∴∠AOB ＝60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AO ＝AB ＝6，∴AC ＝12，在Rt △ABC 中，由勾股定理可得BC ＝AC 2－AB 2＝63，∴矩形ABCD 的面积＝AB ·BC ＝6×63＝36 3.16. (1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠C ，在△ABD 和△CAE 中，⎩⎨⎧AB ＝CA∠BAD ＝∠C AD ＝CE，∴△ABD ≌△CAE (SAS )；(2)解：∵△ABD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∴∠APD ＝∠ABP ＋∠PAB ＝∠BAC ＝60°，∴∠BPF ＝∠APD ＝60°，∴在Rt △BFP 中，∠PBF ＝30°，∴PF ＝12BP ＝12×6＝3.能力提升训练1. C 【解析】∵CE ⊥BD ，∴∠BEF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠CAF ＝90°，∴∠F AC ＝∠BAD ＝90°，∠ABD ＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠F ＝90°，∴∠ABD ＝∠ACF ，∵在△ABD 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠BAD ＝∠CAFAB ＝AC ∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF (ASA )，∴AD ＝AF ，∵AB ＝AC ，D 为AC 中点，∴AB ＝AC ＝2AD ＝2AF ，∵BF ＝AB ＋AF ＝12，∴3AF ＝12，∴AF ＝4，∴AB ＝AC ＝2AF ＝8，∴△FBC 的面积＝12×BF ×AC ＝12×12×8＝48.2. C 【解析】∵△DAC 、△ECB 都是等边三角形，∴AC ＝CD ，BC ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ADC ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCD ，∵∠DCE ＝60°，∴AD ∥CE ，∴∠DAP ＝∠PEC ，故③正确；在△ACE 与△DCB 中，⎩⎨⎧AC ＝CD∠ACE ＝∠BCD CE ＝CB，∴△ACE ≌△DCB (SAS )，∴∠C A E ＝∠CDB ，又∵∠PMD ＝∠AMC ，∴∠DPM ＝∠ACM ＝60°，故②正确；在△ACM 与△DCN 中，⎩⎨⎧∠CAM ＝∠CDNAC ＝CD∠ACM ＝∠DCN ＝60°，∴△ACM ≌△DCN (ASA )，故④正确；∴CM ＝CN ，∴△CMN 是等边三角形，∴∠CMN ＝60°，∴∠CMN ＝∠ACD ，∴MN ∥AB ，故①正确；∵∠DBE ＝30°，∠BPE ＝∠APD ＝60°，∴∠AEB ＝90°，故⑤错误．综上所述，正确的个数是①②③④，共4个．第3题解图3. B 【解析】如解图，过点P 分别作OA 、OB 的垂线PC 、PD ，根据角平分线的性质可得PC ＝PD ，∵OP 为定值，∴OC ＝OD ，∵∠AOB 为定角，∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN 也为定角，∵∠CPD 与∠AOB 也互补，∴∠MPN ＝∠CPD ，∴∠MPC ＝∠NPD ，∴△MPC ≌△NPD ，∴CM ＝DN ，MP ＝NP ，故(1)正确；∵OM ＋ON ＝OC ＋CM ＋OD －DN ，∴OM ＋ON ＝OC ＋OD ，∵OC ＝OD 为定长，∴OM ＋ON 为定长，故(2)正确；∵△MPC ≌△NPD ，∴S 四边形MONP ＝S △CMP ＋S 四边形CONP ＝S △NPD ＋S 四边形CONP ＝S 四边形CODP ，∴四边形MONP 面积为定值，故(3)正确；∵Rt △MPC 中，MP 为斜边，CP 为直角边，∴可设MP ＝k ·CP ，∴PN ＝k ·DP ，∵∠MPN ＝∠CPD ，∴△MPN ∽△CPD ，其相似比为k ，∴MN ＝k ·CD ，当点M 与点C 重合，点N 和点D 重合时，MN ＝CD ，当点M 与点C 不重合，点N 与点D 不重合时，MN ≠CD ，∴MN 的长度在发生变化，故(4)错误．4. (1)解：在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠BAC ＝∠ABC ＝45°，∴AC ＝BC ＝AB ·sin45°＝4，∴在Rt △BCE 中，CE ＝BE 2－BC 2＝3，∴AE ＝AC －CE ＝4－3＝1；(2)证明：如解图，过C 点作CM ⊥CF 交BD 于点M ，第4题解图∴∠FCM ＝90°，∴∠FCA ＝∠MCB ，∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝90°，∴∠AFE ＝∠ACB ，∵∠AEF ＝∠BEC ，∴∠CAF ＝∠CBM ，在△ACF 和△BCM 中，⎩⎨⎧∠FCA ＝∠MCBAC ＝BC∠CAF ＝∠CBM， ∴△ACF ≌△BCM (ASA )，∴FC ＝MC ，又∵∠FCM ＝90°，∴∠CFM ＝∠CMF ＝45°，∴∠AFC ＝∠AFB ＋∠CFM ＝90°＋45°＝135°，∠DFC ＝180°－∠CFM ＝180°－45°＝135°，∴∠AFC ＝∠DFC ，在△ACF 和△DCF 中，⎩⎨⎧AF ＝DF∠AFC ＝∠DFC CF ＝CF，∴△ACF ≌△DCF (SAS )，∴AC ＝DC ，∵AC ＝BC ，∴DC ＝BC .5. 解：(1)证明：①∵AB ⊥AD ，AE ⊥AC ，∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠BAD －∠CAD ＝∠CAE －∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE ，又∵AB ＝AD ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS )；②由①知△ABC ≌△ADE ，AE ＝AC ，∠ACB ＝∠AED ，∵AH ⊥CD ，∴∠AED ＝∠ACD ＝45°，CH ＝HE ，∴∠ACB ＝∠AED ＝45°，∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°，∴AH ∥BC ，∴点F 是BE 的中点，即BF ＝EF ；第5题解图(2)成立．证明如下：如解图，过点B 作BG ∥AE ，交AH 于点G ，∵AE ∥BG ，∴∠AGB ＝∠GAE ，∵∠ACH ＋∠CAH ＝90°，∠GAE ＋∠CAH ＝90°，∴∠ACH ＝∠GAE ，∴∠AGB ＝∠ACD ，∵∠BAG ＋∠DAH ＝90°，∠ADC ＋∠DAH ＝90°，∴∠BAG ＝∠ADC ，又∵AB ＝AD ，∴△ABG ≌△DAC(AAS)，∴BG ＝AC ，∵AC ＝AE ，∴BG ＝AE ，∵BG ∥AE ，∴∠AEF ＝∠GBF ，∴△BFG ≌△EFA(AAS)，∴BF ＝EF.拓展培优训练1. 70° 【解析】如解图①，在BC 上取CD ＝AC ，连接BI 、DI ，∵CI 平分∠ACB ，∴∠ACI ＝∠BCI ，在△ACI 与△DCI 中，⎩⎨⎧AC ＝CD ∠ACI ＝∠DCICI ＝CI ，∴△ACI ≌△DCI(SAS)，∴AI ＝DI ，∠CAI ＝∠CDI ，∵BC ＝AI ＋AC ，∴BD ＝AI ，∴BD ＝DI ，∴∠IBD ＝∠BID ，∴∠CDI ＝∠IBD ＋∠BID ＝2∠IBD ，又∵AI 、CI 分别是∠BAC 、∠ACB 的平分线，∴BI 是∠ABC 的平分线，∴∠ABC＝2∠IBD ，∠BAC ＝2∠CAI ，∴∠CDI ＝∠ABC ，∴∠BAC ＝2∠CAI ＝2∠CDI ＝2∠ABC ，∵∠B ＝35°，∴∠BAC ＝35°×2＝70°.【一题多解】如解图②，延长CA 到D ，使AD ＝AI ，∴∠D ＝∠AID ，∵BC ＝AI ＋AC ，∴BC ＝CD ，在△BCI 与△DCI 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ∠BCI ＝∠DCI CI ＝CI，∴△BCI ≌△DCI(SAS)，∴∠D ＝∠CBI ，∵AI 、CI 分别是∠BAC 、∠ACB 的平分线，∴BI 是∠ABC 的平分线，∴∠ABC ＝2∠CBI ，又∵∠CAI ＝∠D ＋∠AID ＝2∠D ，∠BAC ＝2∠CAI ＝2∠ABC ，∵∠B ＝35°，∴∠BAC ＝2×35°＝70°.。