八数第二周辅导资料(TH)2016.09.10
辅导容:全等三角形(1)
知识梳理:一、全等图形(概念及其性质)
二、全等三角形(概念及其性质)
三、全等三角形的判定
(1)、判定全等三角形的方法:
(2)、找全等三角形的方法:
(1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等;
(3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。
(1)缺个角的条件:
1、公共角
2、对顶角
3、两全等三角形的对应角相等
4、等腰三角形
5、同角或等角的补角(余角)
6、等角加(减)等角
7、平行线8、等于同一角的两个角相等(2)缺条边的条件:
9、两全等三角形的对应边相等
8、线段垂直平分线上的点
到线段两端距离相等
7、等面积法
6、等腰三角形
5、角平分线性质
4、等量差
3、等量和
2、中点
1、公共边
10、等于同一线段的两线段相等
基础测试:
1.如图(1),△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则__________≌__________.
2.斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________,底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________.
3.已知△ABC≌△DEF,△DEF的周长为32 cm,DE=9 cm,EF=12 cm则AB=____________,BC=____________,AC=____________.
图(1)图(2)图(3)
如图(2),AC=BD,要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________
如图(3),若∠1=∠2,∠C=∠D,则△ADB≌__________,理由______________________.不能确定两个三角形全等的条件是()
A.三边对应相等B.两边及其夹角相等
C.两角和任一边对应相等D.三个角对应相等
7·△ABC和△DEF中,AB=DE,∠A=∠D,若△ABC≌△DEF还需要()
A.∠B=∠E B.∠C=∠F C.AC=DF D.前三种情况都可以
8·在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′②BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′⑥∠C=∠C′,则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′()
A.具备①②④B.具备①②⑤C.具备①⑤⑥D.具备①②③
9、如图,点O是线段AB和线段CD的中点.
(1)求证:△AOD≌△BOC;
(2)求证:AD∥BC.
例题讲解:
例1、(2016•黔西南州)如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥
ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF
的是()
A.AB=DE B.AC=DF C.∠A=∠D D.BF=EC
例2、(2016•同安区一模)如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,
求证:△ABC≌△DEC.
变式训练:1、已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求证:BD=CE;
(2)求证:∠M=∠N.
例3、(2016•官渡区二模)如图,点E、F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF,求证:△ABF≌△CDE.
变式训练:
如图,,,,A F E B 四点共线,AC CE ⊥,BD DF ⊥,AE BF =,AC BD =。
求证:ACF BDE ∆≅∆。
例4、(2015秋•泉港区期中)已知:Rt △ABC ≌Rt △ADE ,∠ABC=∠ADE=90°,BC 与DE 相交于点F ,连结CD 、EB . (1)请找出图中其他的全等三角形; (2)求证:CD=EB ; (3)求证:CF=EF .
例5、如图1,已知矩形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)保持图1中△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中(当垂线段AD、BE在直线MN的同侧),试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明;
(3)保持图2中△ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予
证明.
变式训练:如图,△ABC中,D是BC的中点,AC∥BG,直线FG过点D交AC于F,交BG 于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连结GE、EF.
(1)求证:BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
例6、如图,AB∥CD,BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,点E在AD上.求证:BC=AB+CD.
反馈检测:
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 两直角边对应相等
B. 一锐角对应相等
C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等
2. 根据下列条件,能画出唯一ABC ∆的是( )
A. 3AB =,4BC =,8CA =
B. 4AB =,3BC =,30A ∠=
C. 60C ∠=,45B ∠=,4AB =
D. 90C ∠=,6AB =
3. 如图,已知12∠=∠,AC AD =,增加下列条件:①AB AE =;②BC ED =;③C D ∠=∠;④B E ∠=∠。
其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( ) A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 如图,已知AB CD =,BC AD =,23B ∠=,则D ∠等于( )
A. 67
B. 46
C. 23
D. 无法确定
5. 如图,在ABC ∆中,90C ∠=,ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ,且
:2:3CD AD =,10AC cm =,则点D 到AB 的距离等于__________cm ;
6.将一正方形纸片按如图的方式折叠,,BC BD 为折痕,则CBD ∠的大小为_________;
7. 如图,ABC ∆为等边三角形,点,M N 分别在,BC AC 上,且BM CN =,AM 与BN 交于Q 点。
求AQN ∠的度数。
8. 如图,90ACB ∠=,AC BC =,D 为AB 上一点,AE CD ⊥,BF CD ⊥,交CD 延长线于F 点。
求证:BF CE =。
9. 如图,已知AE ⊥AD ,AF ⊥AB ,AF=AB ,AE=AD=BC ,AD//BC. 求证:(1)AC=EF ,(2)AC ⊥EF
10. 已知:如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长线于E.求证:BD=2CE.
11、已知:∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE,证明:AD=DE+BE.
12、如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,∠ABC+∠ADC=180°。
求证:①DC=BC;②AD+AB=AC.
参考答案:1.△ADB △ADC 2.ASA (或AAS ) SSS
3.9 cm 12 cm 11 cm 4.∠ACB=∠DBC 或AB=CD
△ACB AAS 6·D 7·D 8·A
参考答案
一、选择题:
1. A
2. C
3. B
4. C
二、填空题:
5. 4
6. 90
三、解答题:
7. 解:ABC ∆为等边三角形
∴AB BC =,60ABC C ∠=∠=
在ABM ∆与BCN ∆中
AB BC
ABC C BM CN
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABM BCN ∆≅∆(SAS)
∴NBC BAM ∠=∠
∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。
8. 证明:AE CD ⊥,BF CD ⊥
∴90F AEC ∠=∠=
∴90ACE CAE ∠+∠=
90ACB ∠=
∴90ACE BCF ∠+∠=
∴CAE BCF ∠=∠
在ACE ∆与CBF ∆中
F AEC
CAE BCF AC BC
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACE CBF ∆≅∆(AAS)
∴BF CE =。
9.证明:
(1)∵AD//BC,∴∠B+∠DAB=180°
又∵∠DAB+∠4+∠EAF+∠3=360°,∠3=∠4=90°
∴∠DAB+∠EAF=180°
∴∠B=∠EAF
在△ABC和△FAE中
∴△ABC≌△FAE(SAS)∴AC=EF
(2)∵△ABC≌△FAE
∴∠1=∠F 又∵∠1+∠3=∠2+∠F
∴∠2=∠3 又∵∠3=90°∴∠2=90°∴AG⊥EF,即AC⊥EF
10.
证明:延长BA、CE交于点F.
∵∠3=90°,∴∠5+∠F=90°
又∵BE⊥CE,∴∠4=90°,∠7=90°∴∠1+∠F=90°,∠6=180°-90°=90°∴∠1=∠5
在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=FC
在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC ∴FC=2EC ∴BD=2EC。