单自由度系统振动机设09-4班 田春宇摘要：单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。

力学模型的简化方法。

振动特性的讨论。

扭转振动；计算系统固有频率的几种方法。

单自由度系统有阻尼自由振动。

简谐激振力引起的受迫振动。

关键词：振动 机械 系统 力学 理论 引言：单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。

尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。

此外，许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。

例如：悬臂锤削镗杆；外圆磨床的砂轮主轴；安装在地上的床身等。

一、 力学模型的简化方法若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。

忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。

把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。

于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。

在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。

阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。

汽车轮悬置系统等等。

二、单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k 称为当量弹簧刚度。

以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。

在单自由度振动系统中，质量m 、弹簧刚度k 、阻尼系数C 是振动系统的三个基本要素。

有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P 。

应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。

单自由度系统无阻尼自由振动无阻尼自由振动是指振动系统不受外力，也不受阻尼力影响时所作的振动。

三、振动特性的讨论 1．振动的类型无阻尼自由振动是简谐振动。

其振动特性只决定于系统的弹性和质量块的惯性。

2．系统的频率和周期 系统振动的圆频率mK n =ω系统的振动频率mK f nn ππω212==系统的振动周期：mK f T nπ21==由此可见，系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关。

因此,当振动系统的结构确定之后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关。

ωn——固有圆频率（natural circlar frequency ）f n ——固有频率（natural frequency ）(说明)线性系统自由振动等时性可以用于判断，刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。

质量相同的两个系统，刚度小的系统固有频率低，刚度大的系统固有频率高。

换句话说，系统质量增大和刚度减小都会使系统固有频率下降；反之，要提高系统的固有频率，应减小系统质量和增大系统刚度。

这一性质在定性研究振动，特别是希望调整系统的固有频率时是极重要的。

3．系统的振幅和初相位运动微分方程中，A 是系统自由振动的振幅，它表示质量块离开静平衡位置的最大位移。

ϕ则是初相位，表示质量块的初始位置。

振幅A 和初相位ϕ的大小取决于00,,xx n ω的数值。

这就是说，振幅A 和初相位ϕ不仅由系统的惯性和弹性所决定，而且还与运动的初始条件有关。

振幅和初相位都决定于初始条件，这是自由振动的共同特性。

4．常力对振动特性的影响常力（如重力）作用在系统上，只改变系统的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振动特性。

因此，在分析振动时，只要以平衡位置作为坐标原点，就可以不考虑常力。

系统中的弹性环节往往由多个弹簧组成，组成的方式可以是并联，也可以是串联，或串并联同时存在。

为了计算固有频率，就需要根据各分弹簧刚度来确定系统总的弹簧刚度。

总结一下可以得出以下规则：并联弹簧的等效弹簧刚度等于各分弹簧刚度之和；串联弹簧的等效弹簧刚度的倒数等于各分弹簧刚度倒数之和。

四、扭转振动以上讨论的是直线振动的情况，但在工程技术上常常碰到另一种需要用角位移θ作为广义坐标来表达其振动状态的扭转振动。

五、计算系统固有频率的几种方法在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义。

除用上述方法外，还有以下几种常用的方法，即静变形法、能量法和瑞利法。

1．静变形法（Static Deformation Method ）如前所述，当单振子处于静平衡状态时，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在以下关系式：jjj mg WK W k λλλ===故系统的固有频率为：jn gm K f λππ2121==由此可见，只要知道质量块处的弹簧静变形λj ，就可以计算出系统的固有频率。

六、单自由度系统有阻尼自由振动 1.阻尼的作用与分类： （1）干摩擦阻尼干摩擦阻尼——两个干燥表面互相压紧并作相对运动时所产生的阻尼。

（2）粘滞阻尼粘滞阻尼——物体以中等速度在流体运动时所产生的阻尼。

（3）结构阻尼结构阻尼——材料在变形过程中内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼.其阻力大小决定于材料的性质. 在实际的振动系统中，阻尼往往不止一种。

但由于粘滞阻尼在数学处理上最为方便，分析振动问题时可使求解大为简化，所以通常都假设系统为粘滞阻尼（粘性阻尼）。

这种假设对阻尼较小的振动系统是接近直实情况的。

在遇到非粘性阻尼时，则可用等效粘性阻尼的办法来作近似计算二、系统的动力学模型和运动微分方程单自由度有阻尼自由振动系统的动力学模型所示，与无阻尼自由振动系统相比较，只是多了一个油液缓冲器。

当质量块m 静止时，缓冲器不起作用。

当质量块运动时，缓冲器就产生阻力xC ，其方向与质量块的速度方向相反。

七、简谐激振力引起的受迫振动1．系统的动力学模型及运动微分方程单自由度有阻尼受迫振动系统的动力学模型如图2.18所示。

在此系统上除了有弹性恢复力kx 及阻尼力x c 作用外，还始终作用着一个简谐振力。

t P P x ωsin 0=若以静平衡位置O —O 为坐标原点，取质量块m 的振动位移x 为广义坐标，且向下为正，则可按牛顿运动定律直接写出该系统的运动微分方程式：t P kx x c x m ωsin 0=++令mP q mc mk n02,2,===αω上式可改写成以下形式：t q x x x n ωωαsin 22=++这是一个非齐次二阶常数线性微分方程式，其通解应为：()()()t x t x t x 21+=其中，()t x 1是（2.57）式中右端为零的齐次方程的通解。

在弱阻尼状态下，这一通解。

()ϕωα+=-t Aex d tsin()t x 2是方程式的一个特发，因为这一方程的非齐次项为正弦函数，故其特解也为简谐函数，且其频率与非齐次项的正弦函数的频率一致。

即：()()ψω-=t B t x si n 2所以方程式的通解为：()()ψωϕωα-++=-t B t Aex d tsin sin(说明)上式中，等式右边第一项表示有阻尼的自由振动（即衰减振动），后一项表示有阻尼的受迫振动。

因此在开始振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振动的暂态过程，这一过程中的振动称为瞬态振动（transient vibration ）。

如图所示，经过一段时间后，衰减振动很快就衰减掉了，而受迫振动则持续下去，形成振动的稳态过程，这一过程中的振动称为稳态振动（steady-state vibration ）。

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