第三章 大学物理辅导 功与能～16～第三章 功与能一、教材系统的安排和教学目的 1、教材内容的安排：在牛顿运动定律的基础上，进一步讲授力对空间累积作用的规律，即功、能、动能定理、功能原理、机械能守恒及其应用。

2、教学目的：使学生理解功、保守力、动能、势能等概念，掌握动能原理、功能原理及机械能转换与守恒定律 二、教学要求 1、理解功的概念（它的定义、量值、单位、物理意义），会计算恒力做功和变力做功。

要明确是哪个力对物体做功 2、理解势能与保守力的概念。

明确势能是一种状态量，每种势能都和一种保守力相对应。

势能表示物质具有潜在的做功本领 3、理解动能的概念，掌握动能原理 4、掌握功能原理和机械能转换与守恒定律，并能比较熟练地运用。

三、内容提要 1、功 定义 W F S F S =∙=⋅⋅⇒cos α为恒力做功W F dS S=∙⇒⎰ 为变力做功力、位移、力与位移之间夹角的余弦三者称为做功的三要素。

功的正负：力对物体做正功，是表明施力者消耗了本身的能量，反之，力对物体做负功，实际上是表明物体克服该力做功。

意义：功是物体能量变化的一种量度，是力对空间的累积作用，是个过程量。

2、保守力：凡做功与路径无关，而只与起点及终点位置有关的力，均称作保守力。

它的性质可表为f dS S⋅=⎰0，即保守力的环流为零。

3、耗散力：凡做功不仅与起点及终点位置有关，而且与路径也有关的力，称之为耗散力（也叫非保守力）。

耗散力的环流不等于零，即：f dS S⋅≠⎰0。

4、势能定义： E mgh P =⇒重力势能，一般取地面为势能零点。

E kx P =⇒122弹性势能，一般取弹簧原长为势能零点。

意义：势能是描写物体系统内物体间相对位置（即状态）的物理量。

它表明系统具有潜在的做功本领，是个状态量。

说明：势能是个相对量，为系统所具有，随零点势能选取的不同而不同，势能有正负。

引进势能的前提条件是系统内存在有保守力。

5、动能原理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。

我们也把它叫做质点的动第三章 大学物理辅导 功与能～17～能定理，它可表示为：W mv mv =-12122212 利用动能原理解决动力学问题，特别是变速运动的动力学问题，要比利用牛顿运动定律方便得多。

6、功能原理：外力与非保守内力对系统做的功，等于系统机械能的增量。

即： W E E E E P K P K =+-+()()2211 说明：在应用功能原理解决问题时，不要再计算保守力（象重力、弹力等）所做的功。

7、机械能转换与守恒定律：E E E E K P K P 1122+=+应用条件：系统内只有保守内力做功，而其他力不做功，外力也不做功。

四、解题步骤 无论是利用动能原理、功能原理还是机械能转换与守恒定律去解题，它们的共同特点是“只顾两头，不管中间”即只考虑系统的初态与末态能量，而不考虑中间过程如何。

1、确定研究对象：质点或系统； 2、分析受力情况，计算合外力所做的功； 3、确定初态和终态的能量（动能或机械能）； 4、列出有关方程； 5、求解。

五、典型例题例1、如图3-1所示，一质量为m 的摆锤与铅直线之间的夹角为θ，求（1）当夹角增加d θ时重力所做的功；（2）当摆锤从θ=0运动到θ=θ0时，重力所做的功，用功的定义计算。

解：（1）如图所示先求出重力所做的元功或微功：dW P dS mgds =⋅=⋅cos α上式中ds 为摆锤所通过的微分弧长，α角为此刻重力与元位移方向之间的夹角，元位移方向为顺时针，即向右摆为θ正。

但ds=l ·d θ，故cos cos()sin απθθ=-=- 所以dW mgl d =-⇒sin θθ由此已将元功表示为夹角的函数。

（2）总功W dW mgl d mgl ==-=-⎰⎰sin (cos )θθθθ0001例2、一人从10米深的井中提水。

开始时桶中装有10千克的水，由于水桶漏水，每升高1米要漏去0.2kg 的水。

求匀速地把水桶从井中提升到井口，人所做的功。

解：由题意知，人的拉力与水桶重量相等。

选择铅直向上为坐标H 轴的正方向，井中水面处为坐标原点，则在任一时刻（即在位置Q 时），水桶的重量为（见图3-2） P=P 0－kh=mg-0.2gh k=0.2千克/米，是指每升高单位长度（1米）所漏去水的质量，但重力=mgh ，m=0.2，故kh=0.2gh 人对水桶的拉力为F P h N ==-(..)980196图3-1第三章 大学物理辅导 功与能～18～则W dW F dh h dh J H==⋅=-=⎰⎰⎰ 010980196882(..)例3、倔强系数为100N ·m -1的弹簧，铅直地放在地板上。

一个25克的物体放在弹簧的顶端，但不系在弹簧上。

若把弹簧压缩50厘米，然后物体从静止被释放出来。

问此物可抛出比原弹簧高多少？解：由题意作出示意图3-3。

由题意知物体自释放达到最高点过程中只受到重力和弹力作用，所以此过程机械能守恒。

依示意图有 mgh k l mgh 12212+=()∆∆∆h h h k l mg =-==⨯⨯⨯⨯⨯=-21222321005102251098051()()..米 自图3-3知，物体抛出后距原弹簧高度为 h h l =-=-=∆∆051005046...米。

例4、一小车沿图3-4所示的光滑弯曲轨道自A 点下滑，小车在A 点时的速度为零，轨道的园环部分有一对称的缺口BC 。

已知园环的半径为R ，缺口的张角∠=BOC 2α。

问A 点的高度h 应等于多少才能使小车越过缺口并能走完整个园环？解：由题意知小车飞越BC 缺口时做斜抛运动，其射程BC=2Rsin α。

设小车在B 点时的速度为v B ，欲使小车刚好越过BC ，要求满足22R v v gB B sin cos sin ααα=⋅⋅⋅这一条件。

由上式得：v gRB 2=cos α(1)由机械能守恒得（A 点运动到B 点时）mgh mg R R mv B =++(cos )α122(2)由式（1）与（2）得h R =++⋅(cos cos )112αα六、课堂练习题 1、判断题（1）不管在何种情况下，摩擦力总是作负功（ ） （2）保守力做功的结果总是使系统的势能减少（ ）（3）在应用功能原理解题时，不应再考虑保守内力做的功（ ）（4）在弹性限度内，如果将弹簧的伸长量增加到原来的两倍，那么弹性势能也增加为原来的两倍（ ）（5）重力势能仅为物体本身所具有，但它的大小却与距地面的高度有关（ ） 2、填空题图3-4第三章 大学物理辅导 功与能～19～（1）一颗速率为700m s ⋅-1的子弹，打穿一块木板后速率降低为500m s ⋅-1，则它损耗的动能∆E k = ；如果让它继续穿过与第一块完全相同的第二块木板，则子弹的速率会降低到 米/秒。

（2）一根不均匀的金属链条重3千克，长1米，盘曲在地面上手提一端至另一端恰好离开地面需做12焦耳的功，如果提另一端至这一端恰好离开地面需做功W= 。

（3）如图3-5所示，弹性系数分别为K 1、K 2的轻弹簧串联后，一端固定，另一端用一力将其拉至平衡位置，此时两弹簧弹性势能之比： E P1/E P2= 。

（4）质量为100kg 的重物平放在卡车底板上，卡车以4m s ⋅-2的加速度运动，4秒内摩擦力对该货物所做的功W= 。

（5）把一质量为10千克的物体，竖直上拉了38米，速度由0增加到4米/秒，则拉力所做的功W= 。

3、单重选择题（1）如图3-6所示，质量为m 的物体从离地面h 高度处A 点，自静止开始沿坡路滑下，到达B 点停止，要把物体从B 点拉回原处，则外力所做的功至少应为A 、mgh ；B 、2mgh ；C 、3mgh ；D 以上说法全错。

（2）一地下蓄水池深3米，面积为100米2，水面位于地面下2米处。

如图3-7所示，现要用一抽水机将水全部抽到地面上，它所做的功应是（取g=10米/秒2） A 、2.5×106焦耳；B 、250焦耳；C 、2×106焦耳；D 、300×103焦耳。

（3）用铁锤将一铁钉击入木块，设铁钉受到的阻力与其进入木块的深度成正比；铁锤两次击钉的速度相同，第一次将钉击入木块内1厘米；则第二次能将钉继续击入的深度为： A 、1厘米；B 、0.5厘米；C 、2厘米；D 、()21-厘米。

（4）如图3-8所示，一轻弹簧，倔强系数K=300N m ⋅-1，与弹簧固接的滑块A 质量为2m ，与A 靠压在一起的滑块B 质量为m ，水平桌面是光滑的。

起始时弹簧被压缩10厘米；现将系统由静止释放，则此后滑块A 运动动能的最大值为： A 、1焦耳；B 、300焦耳；C 、1.5焦耳；D 、条件不足，无法确定。

（5）不同的物体只在重力作用下，从A 点由静止开始沿不同的路径运动到B 点时，见图3-9，它们的A 、速度相同；B 速率相同；C 、质量大的速率大；D 、质量小的速率大。

七、阅读范围与作业图图3-6图3-7KA B3-8A B3-9第三章 大学物理辅导 功与能～20～1、阅读范围：P 72－992、作业：P 101，3-2，3-7，3-122，3-15，3-20，3-22，3-27，3-30。

3、提示3-7、解：拉力F=f 1+f 2=k 1x+k 2x=(k 1+k 2)x拉力之功W dW F dx k k dx k k x x ==⋅=+=+⎰⎰⎰ ()()120122123-20、解：（1）摩擦力之功W mv mv mv f =-=-12123820202（2）由W f s mg r mv f =⋅=-=-()()μπ23802得μπ=31602v rg（3）转数N mv mv ==020223843/转 3-27、解：由功能原理有--=-μmg l k l mv ∆∆121222∴=+v k l mg l ∆∆22μ 3-30、见图3-10所示，在法向可得mg N m v Rcos α-=2当雪橇欲离开冰山时，N=0。

则上式变为mg m v R cos α=2(1) 由示意图可知cos α=hR(2) 再由机械能守恒得mgR mgh mv =+122(3)由（1）、（2）、（3）可解出h R =23。

N。