2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5全册教学案目录第一讲一 1.不等式的基本性质第一讲一 2.基本不等式第一讲一 3.三个正数的算术—几何平均不等式第一讲二 1.绝对值三角不等式第一讲二 2.绝对值不等式的解法第一讲本讲知识归纳与达标验收第二讲一比较法第二讲二综合法与分析法第二讲三反证法与放缩法第二讲本讲知识归纳与达标验收第三讲一二维形式的柯西不等式第三讲二一般形式的柯西不等式第三讲三排序不等式第三讲本讲知识归纳与达标验收第四讲一数学归纳法第四讲二用数学归纳法证明不等式第四讲本讲知识归纳与达标验收1．不等式的基本性质对应学生用书P1 1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0na＞nb n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0⇒1a＜1b，而反之不成立．对应学生用书P1实数大小的比较[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 和n 的大小．[思路点拨] 两式作差――→变形转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 [解] m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n .(当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2≥0 (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a 29＋a 4－1＝－(a 2－3)29＋a 4≤0，所以6a 29＋a 4≤1.当且仅当a ＝±3时取“＝”，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合．不等式的证明[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >e b －d. [思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －eb －d ＝e (b －d －a ＋c )(a －c )(b －d )＝e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0.∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即e a －c >eb －d.法二：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d .进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若a >b ，c >d ，则ac >bd ；(2)若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；(3)若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；(4)若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．解：(1)取a ＝3，b ＝2，c ＝－2，d ＝－3，即3>2，－2>－3.此时ac ＝bd ＝－6.因此(1)为假命题．(2)因同向不等式不能相除，取a ＝6，b ＝4，c ＝3，d ＝2，此时a c ＝bd ＝2.因此(2)为假命题．(3)∵c <d ，∴－c >－d ，因此(3)为真命题．(4)当a >b >0时，才能成立，取a ＝－2，b ＝－3，当n 为偶数时不成立，因此(4)为假命题．4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数， 且1a >1b .x >y ，所以x a >y b ， 所以a x <b y .故a x ＋1<by ＋1， 即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >y y ＋b.利用不等式的性质求范围[例3] (1)已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．(2)已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围． [思路点拨] 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． [解] (1)∵－π2≤α<β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2.且α＜β.∴－π≤α－β＜π且α－β＜0.∴－π≤α－β<0.即α－β的范围为[－π，0)．(2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b ) ＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b . 解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的范围为⎣⎡⎦⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．若8＜x ＜10,2＜y ＜4，则xy 的取值范围是________．解析：∵2＜y ＜4， ∴14＜1y ＜12.又8＜x ＜10， ∴2＜x y ＜5.答案：(2,5)6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1.⇒⎩⎨⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎡⎦⎤－52，12对应学生用书P31．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：∵x <y <0，∴|x |>|y |>0.故P 在Q 的右边． 答案：B2．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >bcD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：当c >0，d >0时，才有a >b >0，ac >bd ⇒c >d . 答案：D3．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bcB ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 答案：C4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b ＜a b ＋c ＜bc ＋a ，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：由c a ＋b ＜a b ＋c ＜b c ＋a ，可得c a ＋b ＋1＜a b ＋c ＋1＜bc ＋a ＋1，即a ＋b ＋c a ＋b ＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .答案：A5．已知0＜a ＜1，则a ，1a ，a 2的大小关系是________．解析：∵a －1a ＝(a ＋1)(a －1)a＜0，∴a ＜1a.又a －a 2＝a (1－a )＞0， ∴a ＞a 2.∴a 2＜a ＜1a .答案：a 2＜a ＜1a6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b 成立．答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵2≤f (1)≤4,1≤f (－1)≤2，∴3≤3f(－1)≤6，∴5≤f(1)＋3f(－1)≤10，∴5≤f(－2)≤10.10．已知a>0，a≠1.(1)比较下列各组大小．①a2＋1与a＋a；②a3＋1与a2＋a；③a5＋1与a3＋a2.(2)探讨在m，n∈N＋条件下，a m＋n＋1与a m＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a>0，a≠1，∴①a2＋1－(a＋a)＝a2＋1－2a＝(a－1)2>0.∴a2＋1>a＋a.②a3＋1－(a2＋a)＝a2(a－1)－(a－1)＝(a＋1)(a－1)2＞0，∴a3＋1>a2＋a，③a5＋1－(a3＋a2)＝a3(a2－1)－(a2－1)＝(a2－1)(a3－1)．当a>1时，a3>1，a2>1，∴(a2－1)(a3－1)>0.当0<a<1时，0<a3<1,0<a2<1，∴(a2－1)(a3－1)>0.即a5＋1>a3＋a2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.(证明如下)a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.2．基本不等式对应学生用书P4 1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a ＝b . 2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2＋b 2≥(a ＋b )22； (2)ab ≤a 2＋b 22；(3)ab ≤(a ＋b 2)2；(4)(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；(5)(a ＋b )2≥4ab .对应学生用书P5利用基本不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． [证明] 法一：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 即1a ＋1b ＋1c≥9. 法二：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c ) ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c＋1＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． ∴1a ＋1b ＋1c≥9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd . 证明：因为a ，b ，c ，d 都是正数，所以ab ＋cd 2≥ab ·cd ＞0，ac ＋bd 2≥ac ·bd ＞0，所以(ab ＋cd )(ac ＋bd )4≥abcd ，即(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd .当且仅当ab ＝cd ，ac ＝bd ，即a ＝d ，b ＝c 时，等号成立． 2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0，又a 2b ＋b ≥2 a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2 b 2c ·c ＝2b . c 2a＋a ≥2 c 2a·a ＝2c . ∴(a 2b ＋b )＋(b 2c ＋c )＋(c 2a ＋a ) ≥2(a ＋b ＋c )．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 当且仅当a 2b ＝b ，b 2c ＝c ，c 2a ＝a ，即a ＝b ＝c 时取等号.利用基本不等式求最值[例2] (1)求当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． [解] (1)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x .∵x ＋1x ≥2，∴0<1x ＋1x≤12.∴0<f (x )≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 即f (x )值域为(0,1]． (2)∵0<x <32，∴3－2x >0.∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∴y ＝4x (3－2x )的最大值为92.(3)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时， 有(x ＋y )min ＝16.在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．3．已知x ＞0，则2x ＋8x 的最小值和取得最小值时的x 值分别是( )A ．8,2B ．8,4C ．16,2D ．16,4解析：2x ＋8x ≥22x ·8x ＝8，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时，取“＝”号，故选A. 答案：A4．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：∵x ，y ∈R ＋，∴4xy ≤x ＋4y2.∴xy ≤x ＋4y4＝10.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 100＝2. 答案：D5．(浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B ．285C ．5D ．6解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x＝5，∵x >0，y >0，∴(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝3x y ＋12yx ＋9＋4≥2 3x y ·12yx＋13＝25，∴5(3x ＋4y )≥25，∴3x ＋4y ≥5，当且仅当x ＝2y 时取等号． ∴3x ＋4y 的最小值是5.答案：C利用基本不等式解决实际问题[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2014年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数． (2)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？[思路点拨] (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式． [解] (1)由题意可设 3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. ∴x ＝3－2t ＋1.当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， ∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3.当销售x 万件时，年销售收入为150%⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12t .由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－2 16＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42，∴当促销费定在7万元时，年利润最大．利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．6．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？解：设一年的运费和库存费共y 元，由题意知：y ＝50 000x ×50＋x2×20＝25×105x ＋10x ≥2 25×106＝104，当且仅当25×105x ＝10x 即x ＝500时，y min ＝10 000，即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．7.围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ＞0)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225 x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．对应学生用书P71．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2③若x ∈R ，则x 2＋1＋1x 2＋1≥2④若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：显然①不正确；③正确；对②虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；④不正确，如a ＝1，b ＝4. 答案：C2．已知a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵a ＋b ＝2×12＝1，a >0，b >0，∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b＝1＋1ab ≥1＋1⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝5，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”号．答案：C3. “a ＝1”是“对任意正数x,2x ＋ax ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：当a ＝1时，2x ＋a x ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取等号)，所以a ＝1⇒2x ＋ax ≥1(x ＞0)，反过来，对任意正数x ，如当a ＝2时，2x ＋a x ≥1恒成立，所以2x ＋ax ≥1⇒/ a＝1.答案：A4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：由已知：y 1＝20x，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)． 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立． 答案：A5．若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x 2的最大值是________，取得最值时x 的值是________． 解析：f (x )＝2－3(x 2＋4x 2)≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x 2即x ＝±2时取等号．答案：－10 ±26．当x ＞12时，函数y ＝x ＋82x －1的最小值为________．解析：因为x ＞12，所以x －12＞0，所以y ＝x ＋82x －1＝⎝⎛⎭⎫x －12＋4x －12＋12≥4＋12＝92，当且仅当x －12＝4x －12，即x ＝52时，取“＝”．答案：927．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x >0)的最小值是________．解析：∵x >0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1.当且仅当x ＋1＝3时取等号． 答案：23－18．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b a ＋a ＋b b＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋4 ≥4b a ×a b ＋4＝8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. (2)∵⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1， 由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 9．设x >0，y >0且x ＋y ＝4，要使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：由x >0，y >0且x ＋y ＝4. 得x ＋y4＝1，∴1x ＋4y ＝x ＋y 4·⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝14⎝⎛⎭⎫1＋y x ＋4x y ＋4 ＝14⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥14⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝94. 当且仅当y x ＝4xy时等号成立．即y ＝2x (∵x >0，y >0，∴y ＝－2x 舍去)． 此时，结合x ＋y ＝4， 解得x ＝43，y ＝83.∴1x ＋4y 的最小值为94. ∴m ≤94.∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，94. 10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝20 10x .则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·20 10x ＋160＝8010(2 x ＋5x)＋4 160(x >1)． (2)S ≥8010×22x ·5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2 x ＝5x即x ＝2.5时取等号，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．3．三个正数的算术—几何平均不等式对应学生用书P81．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是：a ，b ，c 均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a ＝b ＝c .(2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．对应学生用书P8用平均不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证： b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. [思路点拨] 欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R＋)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形． [证明]b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a b ＋b c －3≥33b a ·c b ·a c ＋33c a ·a b ·b c －3＝6－3＝3.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．证明不等式的方法与技巧(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．1．设a ，b ，c ＞0，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.证明：因为a ，b ，c ＞0，由算术—几何平均不等式可得 1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3， 即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc＋abc ≥23abc·abc ＝23(当且仅当a 2b 2c 2＝3时，等号成立)， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥23(当且仅当a ＝b ＝c ＝63时，等号成立)．2．已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1a 2…a n ＝1，求证： (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .证明：因为a 1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33a 1. 同理2＋a j ≥33a j (j ＝2,3，…n )．将上述各不等式的两边分别相乘即得 (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n ) ≥(33a 1)(33a 2)…(33a n )＝3n ·3a 1a 2…a n .∵a 1a 2…a n ＝1，∴(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n . 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立.用平均不等式求最值[例2] (1)求函数y ＝(x －1)2(3－2x )⎝⎛⎭⎫1<x <32的最大值． (2)求函数y ＝x ＋4(x －1)2(x >1)的最小值．[思路点拨] 对于积的形式求最大值，应构造和为定值． (2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值． 解：(1)∵1<x <32，∴3－2x >0，x －1>0.y ＝(x －1)2(3－2x ) ＝(x －1)(x －1)(3－2x )≤⎝⎛⎭⎫x －1＋x －1＋3－2x 33＝⎝⎛⎭⎫133＝127，当且仅当x －1＝x －1＝3－2x ， 即x ＝43∈⎝⎛⎭⎫1，32时，y max ＝127. (2)∵x ＞1，∴x －1>0，y ＝x ＋4(x －1)2＝12(x －1)＋12(x －1)＋4(x －1)2＋1 ≥3312(x －1)·12(x －1)·4(x －1)2＋1＝4，当且仅当12(x －1)＝12(x －1)＝4(x －1)2，即x ＝3时等号成立．即y min ＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．3．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为( ) A ．4－22B ．4－ 2C ．不存在D.52解析：∵x >0，∴f (x )＝4－x －12x 2＝4－⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋12x 2≤4－33x 2·x 2·12x 2＝4－32＝52.答案：D4．若0＜x ＜1，则函数y ＝x 4(1－x 2)的最大值是________，此时x ＝________. 解析：因为0＜x ＜1，所以y ＝x 4(1－x 2)＝12x 2·x 2(2－2x 2)≤12⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋2－2x 233＝427，当且仅当x 2＝x 2＝2－2x 2，即x ＝63时，函数y ＝x 4(1－x 2)取得最大值427. 答案：427 63用平均不等式解应用题[例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？[思路点拨] 根据题设条件建立r 与θ的关系式→将它代入E ＝k sin θr 2→得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式→用平均不等式求函数的最值→获得问题的解 [解] ∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝⎛⎭⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108.当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22.∴h ＝2tan θ＝ 2.即h ＝2时，E 最大．本题获解的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．5．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．解：设长方体的体积为V ，长、宽、高分别是a ，b ，c ， 则V ＝abc ，S ＝2ab ＋2bc ＋2ac . V 2＝(abc )2＝(ab )(bc )(ac )≤⎝⎛⎭⎫ab ＋bc ＋ac 33＝⎝⎛⎭⎫S 63＝S 3216.当且仅当ab ＝bc ＝ac ，即a ＝b ＝c时，上式取“＝”号，V 2取最小值S 3216. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝c ，2ab ＋2bc ＋2ac ＝S ，解得a ＝b ＝c ＝6S 6.即当长方体的长宽高都等于6S 6时，体积最大，最大值为S 6S36.对应学生用书P101．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4x 3≥33x 2·2x ·4x 3＝6，∴y min ＝6.B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332.C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4.D ．y ＝x (1－x )(1－2x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－x )＋(1－2x )33＝881，∴y max ＝881.解析：A ，B ，D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x ＝2＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：C2．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：∵ab 2＝4a ×b 2×b2≤4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＋b 233 ＝4⎝⎛⎭⎫a ＋b 33＝4×13＝4，当且仅当a ＝b2＝1时，等号成立．即ab 2的最大值为4. 答案：C3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322B.833C.332D.223解析：由log x y ＝－2得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x 2即x ＝32时取等号． 答案：A4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π.当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号． 答案：B5．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________. 解析：∵0<x <1，∴1－x >0. 故32x (1－x )(1－x ) ≤2x ＋(1－x )＋(1－x )3＝23.∴x (1－x )2≤427⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝13时取等号. 答案：4276．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值为________．解析：a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0.则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)即a ＝3，b ＝4时等号成立．答案：87．已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a ， ∵x －a >0.∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a ， ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2即x ＝a ＋1时，取等号．∴2x ＋1(x －a )2的最小值为3＋2a .由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2. 答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c >0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．设x ，y ，z >0，且x ＋3y ＋4z ＝6，求x 2y 3z 的最大值． 解：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ，∴x 2x 3z ≤1⎝⎛⎭⎫当x2＝y ＝4z 时，取“＝”. ∴x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1.10．有一块边长为36 cm 的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A 1F 1＝x ，则AF 1＝3x ， ∴A 1B 1＝F 1F 2＝36－23x . ∴V ＝34(36－23x )2·x ＝332(63－x )(63－x )·2x . ∵0＜x ＜63，∴63－x ＞0. ∴V ≤332⎝ ⎛⎭⎪⎫63－x ＋63－x ＋2x 33. 又(63－x )＋(63－x )＋2x ＝123，∴当63－x ＝2x ，即x ＝23时，V 有最大值， 这时V 最大＝332·(43)3＝864(cm 3)．∵S四边形A1F1AE2＝x·3x＝3x2＝123(cm2)，∴三个四边形面积之和等于36 3 cm2.1．绝对值三角不等式对应学生用书P11 绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边． ②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |. 当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ， 当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |； ②点B 不在A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．对应学生用书P11含绝对值不等式的判断与证明[例1] 已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s 3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s . [思路点拨] 原式――→变形重新分组――→定理 转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 [证明] |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )| ≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |. 因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3，所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |||a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．已知|x |＜a ，|y |＜b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．|x ＋y |＜a ＋b B ．|x －y |＜a －b C ．|x |＋|y |≤a ＋bD ．|x |－|y |≤a －b解析：|x ＋y |≤|x |＋|y |＜a ＋b . 答案：A2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤ |2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b | <2×ε4＋3×ε6＝ε.绝对值三角不等式的应用[例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求参数a 的取值范围． [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解． [解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1|| ≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴y max ＝4，y min ＝－4. 法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max＝4，y min＝－4.(2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1，当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：5 14．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．解：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．对应学生用书P121．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．答案：B2．已知a，b，c∈R，且a>b>c，则有()A．|a|>|b|>|c| B．|ab|>|bc|C．|a＋b|>|b＋c| D．|a－c|>|a－b|解析：∵a，b，c∈R，且a>b>c，令a＝2，b＝1，c＝－6.∴|a|＝2，|b|＝1，|c|＝6，|b|<|a|<|c|，故排除A.又|ab|＝2，|bc|＝6，|ab|<|bc|，故排除B.又|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，|a＋b|<|b＋c|，排除C.而|a－c|＝|2－(－6)|＝8，|a－b|＝1，∴|a－c|>|a－b|.答案：D3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为()A．5 B．4C．8 D．7解析：由题意得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A4．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不可能比较大小解析：当(a＋b)(a－b)≥0时|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a ＋b )(a －b )<0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |<2. 答案：B5．(陕西高考)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 答案：－2≤a ≤46．若1<a <8，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________． 解析：－4<b <2则0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. ∵1<a <8，∴－3<a －|b |<8. 答案：(－3,8)7．下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③|b a ＋ab |≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上)．解析：log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确；ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； ∵ab ≠0时，b a 与ab 同号，∴|b a ＋a b |＝|b a ＋ab |≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知 |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确． 答案：①③④8．设a ，b ∈R ，ε>0，|a |<ε4，|b |<23ε.求证：|4a ＋3b |<3ε.证明：∵|a |<ε4，|b |<23ε，∴|4a ＋3b |≤|4a |＋|3b |＝4|a |＋3|b |<4·ε4＋3·2ε3＝3ε.9．设f (x )＝x 2－x ＋b ，|x －a |<1，求证： |f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．证明：∵f (x )－f (a )＝x 2－x －a 2＋a ＝(x －a )(x ＋a －1)， |f (x )－f (a )|＝|(x －a )(x ＋a －1)| ＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1| ＝|(x －a )＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1| ≤|x －a |＋2|a |＋1<2|a |＋2＝2(|a|＋1)．∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．10．设函数y＝|x－4|＋|x－3|.求(1)y的最小值；(2)使y<a有解的a的取值范围；(3)使y≥a恒成立的a的最大值．解：(1)当x≤3时，y＝－(x－4)－(x－3)＝7－2x是减函数，∴y≥7－2×3＝1. 当3<x<4时，y＝－(x－4)＋(x－3)＝1；当x≥4时，y＝(x－4)＋(x－3)＝2x－7是增函数，∴y≥2×4－7＝1.∴y min＝1.(2)由(1)知y≥1.要使y<a有解，∴a>1.即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a，即可．∴a max＝1.2．绝对值不等式的解法对应学生用书P131．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为－c ≤ax ＋b ≤c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．对应学生用书P13|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c (c >0)型的不等式的解法[例1] 解下列不等式： (1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[思路点拨] 利用|x |>a 及|x |<a (a >0)型不等式的解法求解． [解] (1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x ≥2或x ≤－65，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2或x ≤－65.(2)原不等式价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由①得x －2≤－2，或x －2≥2，。