襄阳市第五中学2020届高考数学全真模拟密押卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．设12,F F 分别为离心率5e =的双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12,A A 分别为双曲线C 的左、右顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的渐近线l 于,M N 两点，若四边形21MA NA 的面积为4，则b =（ ）A ．2B ．22C ．4D ．423．已知棱长为a 的正四面体A BCD -，则其外接球的表面积为（ ）A ．232a πB ．23a πC ．22a πD ．26a π 4．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin 6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．195．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ABCD 面积的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．646．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞7．已知集合A ＝3|,2x x Z Z x 且⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 8．某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为 （ ）A ．2B ．22C ．83D ．439．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m >是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧10．函数的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）A ．1957πB ．2266πC ．193πD ．223π12．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数22,0(),0x x x f x e x ⎧=⎨>⎩…若方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的最大值为__________.14．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，点M 是BD 上靠近D 的三等分点，则AM AB =u u u u r u u u r g __________．15．已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线，l 与圆()222x c y a -+=（其中222c a b =+）相交于,A B 两点，若AB a =，则C 的离心率为__________．16．已知直线:1l y x =+与抛物线2:C x y =交于,A B 两点，点()0,1P ，()1,0Q -，且(),PQ QA QB R λμλμ==∈u u u v u u u v u u u v ，则λμ+=__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，四边形ABCD 为平行四边形，45,2ABC AB AC ∠=︒==，M 为线段AD 的中点，点N 满足2PN ND =u u u r u u u r .求证：直线PB P 平面MNC ；求证：平面MNC ⊥平面PAD ；若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值.18．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，直线l 的参数方程是cos (sin x t t y t ββ=⎧⎨=⎩为参数，0π).l β≤<与C 相交于点A 、.B 以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C 的普通方程和极坐标方程；若13AB =，求β．19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2lnx ．求f （x ）的单调区间；证明：213ln 4x x e x >-．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥底面ABCD ，且AB BC ⊥，AD BC ∕∕，22PA AB BC AD ====，E 是PC 的中点．求证：DE ⊥平面PBC ；求三棱锥A PDE -的体积．21．（12分）设a R ∈，命题q ：x R ∀∈，210x ax ++>，命题p ：[1,2]x ∃∈，满足(1)10a x -->.若命题p q ∧是真命题，求a 的范围；()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，求a 的取值范围.22．（10分）已知双曲线22:14x C y -=的左右两个顶点是1A ， 2A ，曲线C 上的动点,P Q 关于x 轴对称，直线1A P 与2A Q 交于点M ，求动点M 的轨迹D 的方程；点()0,2E ，轨迹D 上的点,A B 满足EA EB λ=u u u r u u u r ，求实数λ的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D2、A3、A4、B5、C6、D7、C8、D9、C10、D11、A12、A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3ln 22-14、8315、16、-3三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)见证明；(2)见证明；【解析】【分析】（Ⅰ）连接BD ，交MC 于点O ，利用平几知识得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论，（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量垂直进行论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得结果，（Ⅲ）建立空间直角坐标系，根据面面垂直得两平面法向量垂直，进而得P 点坐标，最后利用空间向量数量积求线面角.【详解】（Ⅰ）证明：连接BD ，交MC 于点O ，连接NO在平行四边形ABCD 中，因为12MD BC =，所以12OD OB =， 又因为2PN ND =u u u v u u u v ，即12ND PN =， 所以ON PB P ，又因为ON ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以直线PB P 平面MNC .（Ⅱ）证明：因为PA PD =，M 为线段AD 的中点，所以PM AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD 于AD ，PM ⊂平面PAD ，所以PM ⊥平面ABCD在平行四边形ABCD 中，因为45,2ABC AB AC ∠=︒==，所以AB AC ⊥以A 为原点，分别以,AB AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,0B C D M --因为PM ⊥平面,ABCD 所以设()()1,1,0P t t ->，则()()()1,1,,1,1,0,2,2,0AP t CM AD =-=--=-u u u v u u u u v u u u v所以2200,1100CM AD CM AP ⋅=-+=⋅=-+=u u u u v u u u v u u u u v u u u v所以,CM AD CM AP ⊥⊥，又因为AP AD A ⋂=所以CM ⊥平面PAD ，又因为CM ⊂平面MNC所以平面MNC ⊥平面PAD .（Ⅲ）解：因为()()2,0,0,1,1,AB AP t ==-u u u v u u u v设(),,m x y z =为平面ABP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-++=⎩不妨设()0,,1m t =- 因为()()2,0,0,1,1,DC DP t ==-u u u v u u u v设(),,n x y z =为平面DCP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-+=⎩不妨设()0,,1n t = 因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以m n ⊥，所以210m n t ⋅=-=因为0t >所以1t =所以()()3,1,1,0,1,1BP n =-=u u u v ， 所以22sin cos ,112BP n θ===u u u v所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为11. 【点睛】 本题考查线面平行判定定理、利用空间向量证明面面垂直以及求线面角，考查综合分析论证求解能力，属中档题.18、（1）22(1)4x y -+=，22cos 30ρρθ--=；（2）3πβ=或23π 【解析】【分析】()1直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；()2利用极径和一元二次方程根和系数的关系和三角函数的值求出结果．【详解】解：()1曲线C 的参数方程是{12cos 2sin .(x y ααα=+=为参数)，转换为直角坐标方程为：22(1)4x y -+=．整理得：22230x y x +--=，转换为极坐标方程为：22cos 30ρρθ--=． ()2直线l 的参数方程是cos sin .(x t y t t ββ=⎧=⎨⎩为参数，0)βπ≤<． 转换为极坐标方程为：θβ=，极径为：1ρ和2ρ，故：22cos 30θβρρθ=⎧⎨--=⎩， 转换为：22cos 30ρρβ--=，所以：122cos ρρβ+=，123ρρ⋅=-，所以：12AB ρρ=-=， 则：24cos 1213β+=， 解得：1cos 2β=±， 由于：0βπ≤< 所以：233ππβ=或． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19、（1）在12(0,)e -上单调递减，在12(,)e -+∞上单调递增； （2）见解析.【解析】【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设h （x ）＝234x e -（x ＞0），根据函数的单调性求出f （x ）min ＞h （x ）max ，从而证明结论．【详解】（1）f′（x ）＝x （2lnx+1），令f′（x ）＝0，解得：x ＝， 令f′（x ）＞0，解得：x ＞， 令f′（x ）＜0，解得：0＜x ＜， 故f （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）证明：由（1）知当x ＝时，f （x ）的最小值是﹣， 设h （x ）＝﹣（x ＞0），则h′（x ）＝﹣，h （x ）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，故h （x ）max ＝h （2）＝﹣， ∵﹣﹣（﹣）＝＞0，∴f （x ）min ＞h （x ）max ，故lnx ＞﹣． 【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 20、 (1) 见解析(2)13 【解析】试题分析：(1)取PB 中点H ,连接,AH EH ,利用线面垂直的性质，得到BC AH ⊥，进而得到AH ⊥平面PBC ,又根据三角形的性质，证得//AH DE ，即可证明DE ⊥平面PBC ；(2)解:由(1)知,PH 是三棱锥P ADE -的高,再利用三棱锥的体积公式，即可求解几何体的体积.试题解析：(1)证明:取PB 中点H ,连接,AH EH ,∵PA ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,PA BC ⊥ BC AB ⊥,且PA AB A ⋂= BC ⊥平面PAB ,又AH ⊂平面PAB ,所以BC AH ⊥.又∵PA AB =,H 为PB 的中点,AH PB ∴⊥ ,又BC PB B ⋂=,AH ⊥平面PBC ,在PBC V 中,,H E 分别为,PB PC 中点,12HE BC = ,又2BC AD =Q ,//AD BC , //AD HE ∴，AD HE =∴四边形ADEH 是平行四边形,∴//AH DE 、DE ⊥ 平面PBC .(2)解:由(1)知,BC PB ⊥，∴AD PB ⊥,又PB AH ∴⊥,且AH AD A ⋂=,PB ∴⊥平面ADEH ,PH ∴是三棱锥P ADE -的高,又可知四边形ADEH 为矩形,且1AD =,2AH = ,所以13A PDE P ADE ADE V V S AH --==⨯⨯=V 11121232323ADEH S AH 矩形⨯⨯=⋅⋅=. 另解:E 是PC 的中点,∴E 到平面PAD 的距离是B 到平面PAD 的距离的一半，所以111121323B PAD V -=⋅⋅⋅⋅=. 21、 (1)322a <<. (2) 2a ≤-或322a <<. 【解析】分析：（1）根据题意，求解p 真：32a >；q 真：22a -<<，即可求解p q ∧； （2）根据()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，得到,p q 同时为假或同时为真，分类讨论即可求解实数a 的取值范围．详解：（1）p 真，则或得；q 真，则a 2﹣4＜0，得﹣2＜a ＜2，∴p ∧q 真，． （2）由（￢p ）∧q 为假，（￢p ）∨q 为真⇒p 、q 同时为假或同时为真，若p 假q 假，则，⇒a≤﹣2，若p 真q 真，则，⇒综上a≤﹣2或．点睛：本题主要考查了逻辑联结词的应用，解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．22、（1）2214x y +=；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【试题分析】（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式分析求解：（1）由已知()()122,0,2,0A A -，设,.,22P t Q t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则直线)1:2A P y x =+ ， 直线)2:2A Q y x =-， 两式相乘得()22144y x -=-，化简得2214x y +=， 即动点M 的轨迹D 的方程为2214x y +=； （2）过()0,2E 的直线若斜率不存在则13λ=或3， 设直线斜率k 存在， ()()1122,,,A x y B x y()22222{1416120440y kx k x kx x y =+⇒+++=+-= ， 则()()()()122122120116214{123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=+= 由（2）（4）解得12,x x 代入（3）式得()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+ ， 化简得()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ ， 由（1）0∆≥解得234k ≥代入上式右端得， ()2311641λλ<≤+ , 解得133λ<<,综上实数的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2019-2020高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。