(3) a2+2a+1;
(4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3;
(6) －3x2+6xy－3y2.
应用提高、拓展创新
1.把下列多项式分解因式，从中你能 发现因式分解的一般步骤吗？
（1）x 4 y 4；
（2）a3b ab3；
（3）3ax2 6axy 3ay2 ；（4）(x p)2 (x q)2
两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积.
例3 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，即可用平方差公式分解因式.
在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设 x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2.
再分解为止.
分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，
这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式,
再进一步分解.
解:(1) x4－y4
(2) a3b－ab
= (x2+y2)(x2－y2)
=ab(a2－ 1)
= (x2+y2)(x+y)(x－y). =ab(a+1)(a－ 1).
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
思考 15.4.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
例6 分解因式:
将a+b看作一个
(1) 3ax2+6axy+3ay2;
整体，设a+b=m, 则原式化为完全
平方式m2－
(2) (a+b)2－12(a+b)+36. 12m+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公 因式，再进一步分解.
解：(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2－12(a+b)+36
…… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n，(n+7)2－ (n－5)2能被24 整除吗? 为什么?
15.4.2 公式法(2) 思考：
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？
(a+b)2=a2+2ab+b2,
a2+2ab+b2=(a+b)2
说出下列多项式各项的公因式：
(1)ma + mb ； m
(2)4kx－ 8ky ； 4k
(3)5y3+20y2 ； 5y2
(4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
例1 把8a3b2 12ab3c分解因式
一阵凉风抚面而来，轻盈可人，似伊 人的含 笑视射 ，迎合 她的动 人微凉 ，切合 成一种 内感外 物的融 合无瑕 。没有 的葱绿 的展露 ，没有 飘舞的 雪花， 没有炙 热的气 流，但 总在美 好中寻 找珍贵 。风的 起卷成 势，在 一些人 眼里如 昙花一 现的普 遍，没 有人真 正在意 过，风 的物语 ——浮 华流转 ，一种 美好的 记忆停 留在一 刻，拂 过的记 忆恍若 秋水， 不经不 意，美 好如昨 ，懂得 它的转 式，你 也一定 是美好 的守护 者。 九月的阳光，网吧一角，一米光芒映 在身侧 ，万千 荣光生 于心中 感怀， 光耀的 一刻， 站在了 一切积 极的巅 峰，浮 华若梦 。它的 温暖， 感官上 的吸热 逐于心 房徜徉 ，莫名 的兴奋 点亮了 心中的 希望， 所有目 标于人 都促推 一股动 力。动 力秋后 的工作 ，爱情 ，理想 。 秋凉微渗，溪雨人思，清风撩人，暖 阳怡人 ，花生 开开， 一层层 有维度 的结面 ，定然 了秋最 美丽的 姿态和 内涵。 秋若无 情画宏 图，吾 似有意 执恒心 。万般 皆是空 若恨， 千载难 逢秋似 伊。
分析：应先找出
与
的
公因式，再提公因式进行分解.
例 2 分解因式 2a(b c) 3(b c)
分析：(b+c)是这两个式子的公因式,
可以直接提出.
解：2a(b c) 3(b c)
(b c)(2a 3) .
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
a2 + 2·a ·b +b2 解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) －x2+4xy－4y2 = － (x2－4xy+4y2) = － [x2－2·x·2y+(2y)2] = － (x－2y)2 .
（5）(a b)2 12(a b) 36 .
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止.
2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除.
漫步在诗书的时间轮，望着赤日炎炎 的夏天 ，思绪 不禁翻 开了卷 卷黄页 。那种 感觉如 夏雨落 入尘世 的前奏 ，秋意 渐渐袭 来了， 恍若濒 临初始 的某一 种感触 一样地 散漫而 来。发 散于一 种感意 ，趋于 身体遍 布，渐 次全方 位被感 触到这 种秋凉 的感受 来。秋 来了， 树枯了 ，叶萎 了，人 意却持 续了这 一年里 的努力 辛苦。 也只有 在秋意 纷飞的 季段， 人总是 忙碌不 庸的。 着眼于 像秋收 一样的 丰功伟 绩，着 实于现 实中的 可堪的 经济效 果，着 助于生 活点滴 的美好 不耐。 秋风来了，早始的凉意轻缓而来，轻 抚至我 的身体 ，抚撩 我赤裸 的上体 。一种 从心底 的温凉 从肌肤 扩至全 身。我 起身进 房披了 被单， 在阳台 上抽烟 ，烟气 氤氲， 火动了 一小丁 清醒且 亢奋的 情绪。 不知哪 里起一 曲歌来 ，心里 荡涤这 曾经的 回忆， 我自语 ：秋寒 将至， 伊人何 以安暖 ！
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法
(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法
(4) x2+4x+4=(x+2)2 ；
因式分解
(5) (a－3)(a+3)=a2－9
请把下列多项式写成整式乘积的形式.
(1)x2 x x(x 1)
(2)x2 1 (x 1)(x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解（或 分解因式）.
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
因式分解
x2－y2
(x+y)(x－y)
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程.
(a－b)2=a2－2ab+b2.
a2－2ab+b2=(a－b)2
两个数的平方和加上（或减去）这两 个数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方.
例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2 .
=(a+b－6)2.
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; 2.分解因式：
(4)a2+ab+b2.
(1) x2+12x+36;
(2) －2xy－x2－y2;
走过一年四季，走过了多少的四季， 在每一 季都盛 开了那 些心语 扉开的 花朵。 花，绽 放着一 些人美 丽的誓 言。花 开花败 ，得失 了那些 人的恩 怨情仇 。春天 的花， 傲骨铮 然，好 似轻易 划破那 些幻若 的清寒 孤苦， 在冬末 至春初 ，把去 载一切 的动荡 多桀化 为最动 人的崭 亮，花 开的惊 艳，恰 和了许 多人的 希冀。 凝开凝 落，一 地的幽 黄点缀 卓姿跃 然。 秋季的风，静默了谁的孤迷，滴落于 红尘路 上。满 眼的金 色，华 丽辉煌 ，把希 望滑向 远方。 远方是 否还是 凝默的 蜡黄， 灼灼不 清的雨 丝绕成 寂苦。 连绵不 断的风 奏，是 否还是 那年的 背景音 乐，人 分离了 ，思念 也断句 成章， 凉风绵 卷成记 忆，心 底的失 落也辗 转得越 发带劲 。 风不停着演绎着各种不同的意义定义 。于春 ，它是 崭亮了 生命的 活力； 于夏， 它是积 助了生 活的热 烈；于 冬，它 是幻化 了死亡 的黑暗 。但秋 ，确是 财富了 人生的 意义。 只有粮 食的充 足，才 能保证 生命的 生存， 生活的 继续， 经济的 发展， 财富的 扩大。