水深火热的演练一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。
在椭圆中，a c e =，22222221ab a b a ac a c e -=-===1.已知椭圆的长轴长是短轴长的23.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为21 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为12。
5.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22。
6..已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为238.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e 22。
9.P 是椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 13-10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为3613.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF∣，则椭圆的离心率是36。
14.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是215-15.已知直线L 过椭圆12222=+by a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距离为2a，则椭圆的离心率是3616.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e=217.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-= 的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ A ）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能二、构造a c ，的齐次式，解出e1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是53 2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三15．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是33 三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 2．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且9021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,223．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,214．设椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围为136<≤e 5．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =38．6．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是1⎫⎪⎪⎣⎭7．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是13-关于双曲线离心率一、利用双曲线性质例1 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的左支上，双曲线两焦点为21F F 、，已知|PF |1是点P 到左准线l 的距离d 和|PF |2的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由题设|PF |d |PF |221=得：|PF ||PF |d |PF |121=。
由双曲线第二定义e d|PF |1=得：e |PF ||PF |12=，由焦半径公式得：e ex a ex a =+--，则a ee a)e 1(x 2-≤-+-=，即01e 2e 2≥--，解得21e 1+≤<。
归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P 在双曲线1b y a x 2222=-的左支上则a x -≤；若点p 在双曲线1by a x 2222=-的右支上则a x ≥。
二、利用平面几何性质例 2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由双曲线第一定义得：a 2|PF ||PF |21=-，与已知|PF |4|PF |21=联立解得：a 32|PF |,a 38|PF |21==，由三角形性质|F F ||PF ||PF |2121≥+得：c 2a 32a 38≥+解得：35e 1≤<。
归纳：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。
三、利用数形结合 例3 （同例2） 解析：由例2可知：a 32|PF |,a 38|PF |21==，点P 在双曲线右支上由图1可知：a c |PF |1+≥，a c PF -≥||2，即a c a 32,a c a 38-≥+≥，两式相加得：c a 35≥，解得：35e 1≤<。
四、利用均值不等式例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 2222>>--的右支上，双曲线两焦点为21F F 、，|PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。
解析：a 8a 4|PF |a 4|PF ||PF |)a 2|PF (||PF ||PF |222222221≥++=+=，由均值定理知：当且仅当a 2|PF |2=时取得最小值a 8，又a c |PF |2-≥所以a c a 2-≥，则3e 1≤<。
五、利用已知参数的范围例5 （2000年全国高考题）已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。
解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为)0b ,0a (1by a x 2222>>=-，设)y ,x (E )h ,2c(C )0,c (B )0,c (A 00、、、-其中h 是梯形的高，由定比分点公式得1hy ,)1(2c )2(x 00+λλ=+λ-λ=，把C 、E 两点坐标分别代入双曲线方程得1b h a 4c 2222=-，1b)1(h a )1(4c )2(22222222=+λλ++λ-λ， 两式整理得1)14e ()1()1(4e )2(222222=-+λλ++λ-λ，从而建立函数关系式2e 1e 22+-=λ，由已知4332≤λ≤得，432e 1e 3222≤+-≤，解得10e 7≤≤。
六、利用直线与双曲线的位置关系例6 已知双曲线)0a (1y ax 222>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x 得：0a 1,0a 1y 2y )a 1(2222≠-=-+--时，直线与双曲线有两个不同的交点则0>∆，0)a 2(a 4)a 1(442222>-=--=∆，即2a 2<且1a ≠，所以23a11a c e 2222>+==，即26e >且2e ≠。
七、利用点与双曲线的位置关系例7 已知双曲线)0a (1y ax 222>=-上存在P 、Q 两点关于直线1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。
解析：设)y ,x (Q ),y ,x (P 2211，弦PQ 中点为M ，由点差法求得)2a 1,2a a (M 222++，当点M 在双曲线内部时1)2a (1)2a (a 22222>+-+，整理得：05a 3a 24<++无解； 当点M 在双曲线外部时，点M 应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：0)2a (1)2a (a 22222<+-+，即1a 2<，则2a 11e 22>+=，所以2e >。
八、利用非负数性质例8 已知过双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-左焦点1F 的直线l 交双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。
解析：设)y ,x (Q )y ,x (P 2211、，过左焦点1F 的直线l 方程：c ty x -=，代入双曲线方程得：0b tcy b 2y )a t b (422222=+--，由韦达定理得：222221at b tcb 2y y -=+， 2212122121222421c )y y (ct y y t )c ty )(c ty (x x ,a t b b y y ++-=--=-=，由OP ⊥OQ 得0y y x x 2121=+，即：0c a t b c t b 2a t b )1t (b 222222222224=+---+，解得：222242ba c ab t -=，因为0t 2≥，所以0c a b 224≥-，则253e ,01e 3e ,0c c a 3a 2244224+≥≥+-≥+-，所以215e +≥。