磁悬浮列车由于地面导轨中排列的线圈磁场和车身下部的超导线圈磁场之间的磁力作用而悬浮在导轨之上约1cm处.列车前进的动力则是通过地面导轨线圈中磁场极性的交替变化来获得的.磁悬浮列车具有无噪音、高速度、节能等优点.第11章变化的电磁场静止电荷在周围空间激发静电场,运动的电荷则既产生电场也产生磁场.在电场和磁场都恒定不变的情况下,电场和磁场相对独立,可以分别研究.电场和磁场的实质是统一的电磁场,电场变化必然激发磁场,同样,磁场的变化也会激发电场.历史上,人们对于电场和磁场的联系首先是通过法拉第电磁感应定律认识到的,在此基础上麦克斯韦提出了涡旋电场和位移电流假说,并进一步总结出电磁学的基本规律──麦克斯韦方程组.这一理论在爱因斯坦建立狭义相对论的过程中起了桥梁作用,反过来,又使人们认识到了电磁场的相对性与统一性.电磁感应现象在实际中有着广泛的应用.例如变压器、电动机、发电机以及磁卡的刷卡设备、无线通讯中电磁波的发射和接收等都利用了电磁感应原理.§11-1 电磁感应11-1-1 法拉第电磁感应定律1820年丹麦物理学家奥斯特发现通电导线周围存在磁场,即电流会产生磁场.按照对称性的思想,人们自然要问,反过来,磁场是否可以产生电流呢？显然,这会是获得电流的一种实际方法.为此,英国实验物理学246 第11章 变化的电磁场 家法拉第进行了长达十年的研究,最终在1831年发现了电磁感应现象并总结出电磁感应定律.如图11−1所示.法拉第的实验可以归结为两类:一类是磁铁(或载流线圈)与不含电源的闭合线圈之间发生相对运动；另一类是线圈之间无相对运动,但载流线圈中有电流变化.在这两类实验中,都会在其附近的不含电源的闭合回路(称为探测线圈A )中产生电流.法拉第发现这两类实验的共同特点是:只要通过回路面积的磁通量的变化ΔΦ (而不是磁通量Φ )不为零,则探测线圈中就有电流产生.这个电流称为感应电流,这类现象称为电磁感应现象(这一名称是法拉第类比静电感应得来的).感应电流的产生,说明回路中有电动势存在,称为感应电动势.由于感应电动势与回路的开闭状态以及回路的电阻无关,所以感应电动势比感应电流更能反映电磁感应的本质.上述实验结果表明,回路中感应电动势的大小与穿过回路面积的磁通量(常常简称为回路的磁通量)的时间变化率成正比(k 为比例系数)ε=k td d Φ 仔细分析以上实验结果,还可以得出感应电动势方向的规律：闭合回路中感应电流的方向,总是使它所产生的磁通量反抗回路中磁通量的变化.这就是楞次定律.如果规定了回路的绕行正方向,并按右手螺旋法则确定该回路面积的法线方向,则由定义,穿过该回路的磁通量为Φ=⋅∫∫B S d S.由此可知B 的数值、回路面积S 的大小以及B 与回路面积的法线方向e n 之间夹角的改变,都将引起Φ 变化.考虑到楞次定律,ε 的方向是与d Φ /d t 相反的,如图11−2所示.在SI 制中,法拉第电磁感应定律表示成下面的数学形式图11-1 两类电磁感应现象图11-2 楞次定律确定电动势的方向§11-1 电磁感应 247 ε=−d d Φt (11−1) 式中的“－”号表达了楞次定律.应当注意,式(11−1)中的Φ 是闭合回路总的磁通量,如果回路由多匝线圈组成,则Φ 应是所有线圈的磁通量的总和：Φ=∑ϕi i .通常也把ϕi i ∑称为通过线圈的磁通链.若闭合回路中电阻为R ,则回路中感应电流为I R R ti ==−ε1d d Φ 由此可算出一定时间内回路中流过的感应电量ΦRΦR t I q ΦΦt t i i ٛ−=−==∫∫1d 1d 2121 可见,感应电量与磁通量的改变成正比,而与磁通量变化的快慢无关.磁通计原理就是通过已知R 和从实验中测出q i 获得磁通量的变化量ΔΦ =Φ1−Φ2的.楞次定律实际上是能量守恒定律在电磁感应现象中的体现.如图11−3 所示,均匀磁场B 中有一导线框.我们取abcda 为绕行正方向,则当ab 以速度v 向右移动时,线框面积增大,磁通量要增加.根据楞次定律,感应电流产生的磁场方向应反抗磁通的增加,即感应电流方向应为badcb ,则ab 段将受到一个与v 反向的磁场力作用.要使ab 保持以速度v 运动,则必须有与v 同向的外力反抗磁场力做功.反之,如果感应电流方向是abcda ,则磁场力将使ab 沿v 加速运动,结果又使感应电流越来越大,如此就会不断获得电能而不消耗别的能量.这是违背能量守恒定律的,当然是不可能的.同样的道理可以解释磁悬浮现象.如图11-4所示,小磁体受重力作用下落,在下面的超导体中引起感生电流.按照楞次定律,感应电流产生的磁场对小磁体的作用是斥力,而超导体所产生的磁场足以使斥力与重力平衡而悬浮.事实上,在超导体内不允许有磁场,磁力线被完全排斥在超导体外,或者说感生电流的磁场与外磁场在超导体内完全抵消.读者可以试想,当超导体和小磁体的位置颠倒或者互换时又会怎样？例题11-1 如图所示.一空心螺绕环,单位长度匝数为n =5000匝/米,环的截面S =2×10−3m 2,在环上再绕一线圈A,总匝数为N =5,线圈A 的电阻为R =5Ω,螺绕环上的电流可通过变阻器调节,使电流每秒减少2A.求(1) 线圈A 中的感应电流；(2) 2秒内通过线圈A 的感应电量.解: (1) 螺绕环中通以电流I 时,其内的磁感应强度B 为图11-3 楞次定律的解释图11-4 超导磁悬浮248 第11章 变化的电磁场 B nI =μ0 线圈A 中的磁通量即螺绕环内的磁通量.取绕行方向如图,则 Φ==⋅==∫∫N N NBS N nIS ϕμB S d 0 于是线圈A 的感应电动势为 εμπi t N nS I t =−=−=−××××××−=×−−−d d d d ().(V)Φ073454105000210212610 I R i i==×−ε25105.(A)ε i (以及I i )>0表示其方向与设定的绕行方向一致.本题也可以先求出εi (以及I i )的大小,再由楞次定律判定　εi (以及I i )的方向.(2) q I t I t i i i ===×∫−d 5105(C)注意:本例中线圈A 上各点并没有磁场,可是线圈中却能产生感应电流！例题11−2 交流发电机原理.如图所示,矩形线框abcd 面积为S ,使其在匀强磁场B 中绕固定轴OO ′以匀速度ω 转动,B 与OO ′轴垂直,求线圈中的感应电动势.解: 设在某一瞬时,线圈平面矢量e n 与B 夹角为θ =ω t ,则通过线圈的磁通量为ΦΦ=⋅==−=−∫∫B S d cos d d sin S i BS tt BS tωεωω本例结果表明,在匀强磁场中,转动线圈内产生的电动势随时间按正弦关系变化,周期为2π /ω .这种电动势叫做交变电动势.这就是交流发电机的基本原理.感应电动势取决于磁通的时间变化率.而d Φ =B ⋅d S ,所以不论是B 变化还是闭合回路形状变化,或者磁场与闭合回路的相对运动都将引起感应电动势.通常把由于磁场B 的改变所引起的感应电动势称为感生电动例题11−1图 螺绕环例题11-2图 磁场中线框的转动§11-1 电磁感应 249 势；而把导体相对磁场移动(平动或转动,此时导体将“切割”磁力线)所产生的感应电动势称为动生电动势.下面分别讨论这两种情况..11-1-2 感生电动势 涡旋电场如图11-5所示的电磁感应实验中,把一闭合导体回路放置在变化的电磁场中时,穿过此闭合回路的磁通量发生变化,从而在回路中要激起感应电流.这个迫使电荷做定向移动的电场显然不是静电场,而是一个非静电场.由于线圈不动,线圈上的电荷不会受到磁力的作用,麦克斯韦意识到,线圈中的非静电力来源于变化的磁场,即变化的磁场周围存在一种非静电场,称为感生电场,用符号E K 表示.正是这个感生电场产生了感生电动势.感生电场E K 即使在真空中也是存在的,与是否存在闭合回路无关.于是,沿任意闭合回路的感生电动势为tΦL d d d K −=⋅=∫l E ε (11-2) 这就是说只要穿过空间某一闭合回路所围面积的磁通量发生变化,那么此闭合回路上的感生电动势总是等于感生电场E K 沿该闭合回路的环流.可见,感生电场与静电场不同,它沿闭合回路的环流一般不等于零,这就是说感生电场不是保守场,数学上称为有旋场.感生电场的场线是无头无尾的闭合曲线,故感生电场也称为涡旋电场.显然对于感生电场有0=⋅∫∫S ES d K (11-3)可见,与静电场是由源无旋场不同,涡旋电场是无源有旋场.由于磁通量∫∫⋅=SΦS B d ,所以式(11-2)式也可写成t L d d d K −=⋅=∫l E ε∫∫⋅SS B d若闭合回路是静止的,它所围的面积S 不随时间变化,故上式也可写成S B l E d d d d K ⋅−=⋅=∫∫∫t s L ε (11-4)式中d B /d t 是闭合回路所围的面积内某点的磁感应强度随时间的变化率.式(11-4)表明,只要存在着变化的磁场,就一定会有感生电场,而且(-d B /d t )与E K 遵从右手螺旋关系.例题11−3.已知长直螺线管的电流随时间线性增大,因而管内的磁场亦随时间增大,求涡旋电场分布.图11-5250 第11章 变化的电磁场 解:由于长直螺线管内nI B 0μ=，所以当I 线性增大时，(0d d >tB ,方向与B 一致,且其值为常量).因为B 以及d d B t的分布具有轴对称性,空间的涡旋电场E K 也具有轴对称性.所以管内、外半径为r 的圆周上各点E K 的大小相等，方向沿圆周切线方向，E K 与(−d d B t )成右手螺旋关系,如图所示.选取L 为积分环路,则E K 的环流为r E L K π2d ⋅=⋅∫K l E由(11−4)式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>−<−=⋅−=⋅∫∫R r R tB R r r t B S t B r E S K 22d d d d d d d 2πππ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>−<−=R r tB r R R r t B r E K d d 2d 2d 2 图中画出了E K ~r 曲线.本例可见,在某些具有一定对称性的情况下,可由d d B t 求E K ， 例题11−4.均匀的磁场B 被限制在半径为R 的无限长圆柱形空间,其变化率为0d d >tB (B 的方向不变),现垂直于磁场放置长为l 的金属棒如图所示(俯视图).求棒中感生电动势.解: 由电动势定义,设ε 由A 指向B ,则∫∫=⋅=B A BA AB cos d d αεl l E k k E 由于 22)2/(,cos ,d d 2l R h r h t B r E k −===α，故εAB A B d d d d d (/)d d ===−∫r B t h r l hl B t l R l B t222222 A 端电势高于B 端.由以上发现分析可见,由于非静电场E K 的存在,即使不形成闭合回路,也存在电动势.本题也可用法拉第电磁感应定律求,但需假想一个回路,在该回路中,除ＡＢ段外最好其它部分的感应电动势为零或已知.我们选取OABO 三角形回路(如图所示)，由于在OA 或OB 段上，E K ⋅d l =0，故OA 、OB 段上电动势为零,于是整个回路的感生电动势为:εεAB dd d dd d ==−⋅=∫∫∫∫i t t B S B S例题11-4图 例题11-3图§11-1 电磁感应 251 图11-6 电子感应加速器 ==⋅∫∫d d d d dB t S Bt S 由于 S lh lR l ==−122222(/)所以 εAB (/)d d =−l R l Bt 2222可见,若能找到合适的回路,用法拉第电磁感应定律往往更简单.涡旋电场的存在,已被许多实验直接证实,并在现代科技中得到广泛应用.电子感应加速器就是一例.如图11−6所示,电子感应加速器由上下一对极性相反的电磁铁构成,电子束被射入处于它们之间的面包圈状的陶瓷真空室里,在电磁铁线圈中通以交变电流,从而在环形真空室里产生沿切线的涡旋电场来加速电子.与此同时,电磁铁形成的磁场还提供了使电子沿半径恒定的圆形轨道绕行所需的法向力.用电子感应加速器已能把电子加速到400MeV .加速后的电子束可以用来轰击金属靶,以获得X 射线.这种方法常用于工业上,也常用于放射性医学及肿瘤治疗上.当大块的金属导体处于随时间变化的磁场中时,由于涡旋电场的作用,在块状导体的各个薄层中会形成了一系列涡旋状的感应电流,这就是涡电流,简称涡流.涡流现象为涡旋电场的存在提供了直接的证据.由于大块金属的电阻很小,涡电流的强度往往很大,从而在金属内释放大量的焦耳热.现代科技中利用这种热效应来冶炼金属的高频感应电炉,其结构如图11−7所示.当在坩埚外侧环绕的线圈中通以大功率高频交流电时,坩埚里块状金属中产生强大的涡流,释放大量焦耳热而使自身熔化.不过涡流的热效应也有危害的一面.大家知道,在电机和变压器等电器中,线圈都缠绕在铁芯上,当通以交变电流时,铁芯中产生的涡流不仅浪费电能,而且可使电器设备烧毁.为了减小涡流,常采用电阻率较高的硅钢片,相互绝缘地多层叠合在一起,这样涡电流限制在各硅钢片很小的截面之内从而使涡流大为降低.由于铁氧体的电阻率很大,所以用铁氧体材料做成的软磁性铁芯,可以大大减小涡流损耗.电器的金属外壳可以屏蔽静电和静磁,也能屏蔽外来变化的磁场.这是因为变化的磁场在壳体上引起涡电流,按照楞次定律,其磁场是要削弱甚至(在高频情况下)完全抵消外界变化磁场的影响.涡电流还会引起电磁阻尼现象.如图11−8所示,金属摆在电磁铁两极间摆动.没有通电时电磁铁间无磁场,摆动受阻尼很小；通电后在电磁铁间形成磁场,金属摆摆动时由于电磁感应产生涡流,涡流在磁场中受到磁 图11-7 高频感应电炉示意图 图11-8 电磁阻尼摆252 第11章 变化的电磁场 力作用产生一个阻力矩,称为电磁阻尼.电气列车和电车中所用的电磁制动器,利用的就是这个原理.在电流计等装置中也常利用电磁阻尼效应来减小电表指针的摆动,使它迅速地停留在平衡位置上.涡电流还会引起均匀导体中电流密度的变化.如图11−9所示,当一根导线中有电流I 0通过时,在它周围产生环形磁场B.当I 0增大时,B 也随之增大从而产生如图11−8所示的涡电流I 1,在轴线附近,I 1和I 0方向相反,在表面附近I 1与I 0方向相同,于是在导线截面上电流密度分布呈现边缘大中心小的情形.当I 0减小时的情况请读者自行分析.11-1-3 动生电动势产生感生电动势的非静电场可以归结为变化磁场产生的涡旋电场.那么,磁场恒定时,由于导体运动产生的动生电动势的非静电场又从何而来呢？如图11−10所示,一段长为L 的导体以速度v 在均匀磁场B 中运动,导体中的自由电子将受到洛伦兹力的作用)(B F ×−=υe正是洛伦兹力提供了AB 内的非静电场力E KB F E ×=−=υe K (11−5) 其方向由A 到B ,即B 端为电源正极,A 端为负极,则动生电动势为 BL l B L i v v ==⋅×=⋅=∫∫∫B A BA k d d )(d lB l E v ε如果再设想AB 与另一部分不动的导体构成回路,那么由法拉第电磁感应定律也可以得到完全相同的结果.上述结果可以推广到任意形状导体在非均匀磁场中运动的一般情形.此时取导体中某一线元d l ,设其速度为v ,B 为d l 处的磁场,则E K = v ×B 为d l 处由洛伦兹力提供的非静电场,在该线元中的电动势为l B d d ⋅×=)(υi ε (11−6) 对一段有限长的运动导线来说,总的动生电动势即为l B d ⋅×=∫)(υL i ε(11−7)电动势的方向由E K = v ×B 决定；或者我们可以选定d l 的方向,若由上式求得的εi >0,表明ε i 与选定方向相同；反之则相反.由(11−7)式可见,当出现v =0,或者v //B 或 (v ×B )⊥d l 三种情况之一时,εi =0.即导线不动,或者没有切割磁力线时,都不会产生动生电动势.可见,动生电动势只有当导线“切割”磁力线时才会产生.图11-9 涡电流对电流分布的影响图11-10 动生电动势§11-1 电磁感应 253由(11−7)式,利用矢量混合积公式有(v ×B )⋅d l = (d l ×v )⋅B ,而 d l ×v = d l ×d r /d t ）= −d S /d t 为d l 扫过的面积速度矢量,有l B d ⋅×=∫)(υL i εtt L d d d d Φ−=⋅−=∫S B 这正是法拉第电磁感应定律的表示式,这说明两者是等价的.因此,我们既可以用(11−7)式也可以用法拉第电磁感应定律来求动生电动势.洛伦兹力是不做功的.那么,动生电动势是怎样产生的呢？仔细分析可知,导体中电子的速度等于导体速度v 和电子相对于导体的定向运动(漂移)速度u 的矢量和.如图11−11 所示,电子所受的总的洛伦兹力为 B F ×+−=)u υ(e F ⊥(v +u ),故不做功.而分力F 1= −e v ×B 做功,形成了电子的漂移运动和感应电流,其作用只是转换能量.即F 1提供了动生电动势的非静电力；另一分力F 2=−e u ×B 来源于电子的漂移运动,受力方向沿−v ,它是阻碍导体运动的,对电子做负功.两个分力所做功的代数和(即总的洛伦兹力F 做功)为零.为了使导体保持以匀速v 运动,必须有外力作用于导体以克服分力F 2做功,并通过分力F 1(产生电动势的非静电场力)转化为感应电流的能量,即把机械能转化为电能.这也是水力发电机的原理.例题11−5.如图所示,长直导线中通有电流I ,长为l 的金属棒AB 垂直于长直导线,以速度v 平行于长直导线做匀速运动,棒的近端距直导线为a ,求棒中的电动势.解: 由于棒上各点磁场不同,必须把棒分成许多线元.如图建立Ox 轴坐标，则在x 处磁感应强度为B I x =μπ02 方向垂直向里.于是有 l B d d ⋅×=)(υi εi i x υB d ⋅−== -v B d x因而整个金属棒的动生电动势为:al a I dx x I Bdx a l a l i +−=−=−=∫∫+ln 2200πμπμεv v v “－”表示εi 指向x 轴负向，A 端电势高于B 端.本例也可由法拉第电磁感应定律来求.设想AB 与另一部分假想的固定轨道BCDA 构成回路,则某时刻通过回路(取正方向沿ABCDA )的磁通量为Φ=⋅==+∫∫∫∫B S d d d ln μπμπ0022I x x y I y a l a而图11-11 电子两种运动分析 a x d x例题11-5图 动生电动势254 第11章 变化的电磁场 εμπμπi tI y t a l a I v a l a =−=−+=−+d d d d ln ln Φ0022 εi 是整个回路的感应电动势,而假想的固定轨道上动生电动势为零,整个回路的电动势就是AB 段上的电动势,结果与前面相同.例题11−6 如图（a）所示,直角三角形金属框ABC 放在均匀磁场中,B 平行于AC 边,当框绕AC 边以ω 转动时,求回路及各边的动生电动势.设CB = a ，AB = l .解:由l B d ⋅×=∫)(υL i ε 容易计算出各边的动生电动势由于AC 边是转轴,即所以v AC =0所以 0=AC εv 在CB 边上各点方向相同,均垂直于B ,但大小不同,v = r ω，v ×B 方向是由C 指向B ,即沿d l 方向[参看其俯视图（b ）],故 2B C B C CB 21d d )(Ba r B r ωωε==⋅×=∫∫l B v 再看AB 边，v ×B 沿径向,cos θ d l=d r 故∫⋅×=BB d )(A A l B v ε 20B A 21d d cos Ba r B r l B r a ωωθω∫∫=== 方向由A 到B . 整个回路总的电动势为εεεεεε=++=−=CB BA AC CB AB 0图中给出了等效的电路图.事实上,由于在转动中ABCA 回路的磁通量并不改变,由法拉第定律可以立即得到整个回路的电动势为零.*11-1-4 两种电动势的相对论实质实际上,把感应电动势的产生区分为由于磁场的变化或由于导线的运动,把非静电力区分为涡旋电场力或磁场力的一个分量,都只具有相对的意义.如图11−12所示是磁铁与线圈相对运动时的电磁感应现象.在随磁铁运动的甲看来,磁场不变而线圈运动,所以有动生电动势；而在静止不动的乙看来,线圈不动而空间磁场改变,所以会产生感生电动势.可见,不同参考系,对产生感生电动势的过程有不同的描述,但结论是一样的:都产生了电动势.从微观上看,电流即电荷的运动.在相对甲静止的参考系中,线圈运动,线圈中的自由电荷具有速度,从而受洛伦兹力作用而运动形成电流,例题11-6（a）图图11-12 两种感应电动势的相对性 B ωv例题11-6（b）图相应的电动势就是动生电动势；在相对乙静止的参考系中,甲运动使得磁场变化从而改变线圈中的电场,使得原有静电平衡被打破从而形成电流,相应的电动势就是变化的磁场激发的涡旋电场.可见涡旋电场可由电磁场的参考系变换直接得到.图11−1中的后一种情形,感生电动势则来源于加速运动(电流变化)电荷所带来的磁场变化.例题11-7 如图所示,在垂直于纸面的非均匀交变磁场B =kx cos ω t 中,有一弯成θ 的金属架COD ,一导体MN 垂直于OD 以恒定速度v 向右滑动,设t =0时x =0,求t 时刻框架内的感应电动势.解: 由法拉第定律,先求t 时刻穿过回路OMNO 的磁通量:Φ=⋅=⋅⋅=∫∫∫B S d cos d cos S xkx t xtg x kx tg t ωθθω0313 于是 εθωωθω=−=⋅−d d sin d d cos Φt kx tg t kx x ttg t 1332)cos 3sin (31 23t t t tg t k ωωωθ−=v 可以看出,式中第一项为感生电动势,第二项为动生电动势.在这种两种感应电动势同时存在的混合型问题中,直接运用法拉第定律计算最为简便,若分开计算则较繁杂也容易出错.§11-2 自感与互感当线圈中的电流变化时,会引起磁场变化；而磁场的变化又会在自身线圈或者邻近的线圈中引起电磁感应,这就是自感或互感现象.这些现象在实际问题中大量存在.11-2-1自感当回路中有电流通过时,电流所产生的磁感应线将穿过回路自身包围的面积.当回路中的电流变化时,通过回路的磁通量将发生变化,从而在回路自身产生感应电动势,这种现象称为自感现象,所产生的感应电动势叫做自感电动势.由毕奥-萨伐尔定律可知,当载流导体的形状及周围环境一定时,磁场与激发它的电流成正比,从而穿过线圈的磁通量也与电流成正比,即 Φ =LI (11−8) 式中比例系数L 仅与线圈形状、大小、匝数及周围介质有关,而与所通电例题11-7图流无关,称为线圈的自感系数(简称自感),在SI 制中,单位为亨利(H ). (11−8)式定义的L 又称为静态自感系数,它决定磁通,而所谓动态自感系数L ,它决定自感电动势εL ,可由下式定义εL L I t =−d d (11−9) 本书仅限于讨论不含铁磁介质、回路静止、几何形状等不变的情况,可以证明,在这种情况下,两种自感系数相等,我们不加区别地用L 统一表示它们.一般而言,除一些较简单的情况外,自感系数的计算是很复杂的,通常可由手册查阅有关计算公式.应当指出,只要回路中电流发生变化就必然同时伴随着自感现象；而自感的作用又总是力图反抗回路的电流变化的.自感的这种力图保持电路中原有电流不变的属性称为电磁惯性.自感L 就是电磁惯性的量度.式(11−9)表明,自感越大,或者电流的时间变化率越大,则反抗回路电流变化的自感电动势也越大.因此,自感大的回路可以抑制电流的变化,这就是用大自感使电流稳定的原理；而当交变电流的频率增大时,εL 也正比地增大,起着削弱高频电流的作用,这就是用自感线圈“滤去”高频电流而仅让低频电流通过的滤波元件(称为“低通滤波器”)的原理.这与电容的“滤波”作用恰好相反.我们知道电容可以阻断直流电,而在交流电路中,电容器反复地充电和放电,因而交流电可以“通过”电容器,频率越高,“通过”的交变电流越强,即电容器起着“滤去”低频电流而让高频电流“通过”的“高通滤波器”作用.例题11−8 设有一无铁芯的密绕长直螺线管,长为l ,半径为R ,绕组的总匝数为N ，计算其自感系数L .解: 对于密绕的长直螺线管,可以忽略漏磁和两端边缘外磁场的不均匀性,把管中的磁场看作是均匀分布的 B NI l=μ0 而穿过N 匝线圈的磁通为 Φ==⋅NBS N I lR μπ022 由(11−8)式可得L I N R l==Φμπ022令n =N /l 为螺线管上单位长度的匝数,V =π R 2 l 为螺线管内空间体积,则有L n V =μ02本题亦可用式(11−9)求得.可见，L 仅与几何尺寸及匝数有关.例题11−9 如图所示,同轴电缆二圆筒间充满磁导率为μ 的介质,半径分别为R 1、R 2,二圆筒面上通过的电流大小相等方向相反.求单位长度的自感.解: 磁场仅存在于两圆筒面之间,在距轴心为r 处,磁场为B I r=μπ2 则穿过长为l ,宽为R 2− R 1构成的矩形截面的磁通量为 Φ=⋅=⋅=∫∫∫B S d d ln μπμπI r l r Il R R R R 221221 故单位长度的自感系数为L l Il R R ==Φμπ221ln 在应用公式L =Φ /I 时，注意磁感应线是与电流线互相套连的.本题中磁场线沿圆周,电流线沿轴向且闭合在无限远处,内、外筒间的磁感应线与电流I 相互套连.11-2-2 互感设有两个邻近的线圈1和2,分别通以电流I 1和I 2 ,如图11-13所示.则其中一个线圈的电流发生变化时所产生的变化磁场会在另一个线圈中引起磁通量的变化而产生感应电动势,这种现象称为互感现象,所产生的电动势称为互感电动势.考虑其中一个线圈例如线圈2,其磁通量由两部分组成:一部分是自身电流I 2产生的Φ 22,其变化将激发自感电动势；另一部分是由电流I 1产生的Φ 21,其变化将激发互感电动势.因此讨论互感时只有后者有贡献.当两线圈的相对位置及形状不变、周围亦无铁磁质时,线圈2中由线圈1的电流产生的磁场与I 1成正比,故Φ 21也应与I 1成正比Φ21211=M I (11−10a ) 式中M 21称为线圈1对线圈2的互感系数,单位也为亨利(H ).同理,线圈2激发的磁场通过线圈1的磁通量Φ 12,则有Φ12122=M I(11−10b )式中M 12为线圈2对线圈1的互感系数. 理论和实验都证明M M M 1221== (11−11) M 称为两个回路的互感系数,它只和两个回路的形状、相对位置及周围介质的磁导率有关.例题11-9图图11-13 互感现象。