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麦克斯韦速率分布函数资料教程


f(v)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.

f(t)表示在时间 t 附近的dt间 隔内,平均每单位时间间隔内 质点在运动中所通过的路程。 有时为了叙述的简便,在不致 引起误解的前提下,常常就说 f(t)表示在时间 t 附近的单位时 间间隔内质点在运动中所通过 的路程。
时间分布函数给出了质点 在运动过程中所通过的路程 对于时间的分布情况的具体 图像。由此可见,f(t)其实就 是质点运动在t时刻的瞬时速 率,因而 f(t)-t 这条时间分 布曲线正是力学中熟知的速 率-时间曲线。
考虑到这种情况,就 可以用 f(v) 类比 f(t). 既 然 f(v) 表示在速率 v 附 近的dv间隔内,平均每 单位速率间隔内的分子 数占总分子数的比率,
那我们同样也不应该问速率恰 好等于特定值 v 的分子数占总 分子数的比率是多少,因为此 时速率间隔等于零;如果非要 问速率恰好等于 v 的分子数占 总分子数的比率有多少,那就 只能说这样的比率等于零。
看来,把热学中的速率分 布函数与力学中的速率-时 间函数(即质点在运动中所 通过的路程对于时间的分布 函数)进行类比,确实有助 于正确理解和掌握速率分布 函数的概念,应该可以收到 良好的效果。
应该注意,类比推理是 一种或然性的推理方法, 通过类比推理所得到的结 论正确与否,当然还必须 经过实践的检验和证明。 没有经过检验和证明的类 比推理只是合理的猜想。
为了描述质点在运动过程 中所通过的路程对于时间的 分布情况的具体图像,则可 以取时间为横坐标值,画出 在t至 t+t 间隔内质点运动 所通过的路程 S 的直方图 (条形统计图)。
条形的水平宽度为 t,条 形的面积为S,因此,条形 的竖直高度(纵坐标值)则 为 S/t,它就是质点在 t至 t+t间隔内的平均速率。显 然,此高度与条形所在处时 间的取值有关,是t的函数。
f(v)表示在速率v 附近的dv间 隔内,平均每单位速率间隔内 的分子数占总分子数的比率。 有时为了叙述的简便,在不致 引起误解的前提下,常常就说 f(v)表示在速率v 附近的单位速 率间隔内的分子数占总分子数 的比率。
速率分布函数给出了气 体分子数对于速率取值的 分布情况的具体图像。
与上述情况类似,质点 在运动过程中的各个相同 的时间间隔内所通过的路 程往往并不相同。
为了更精确地描述气体分子
的速率分布情况,令v 0,
此时直方图的上沿由折线变为
光滑连续曲线,而 N/(Nv)
dN/(Ndv),它当然仍是速率
v的函数,记为f(v),即
f(v) = dN/(Ndv).
(1)
这就是分子数对于速 率的分布函数,或者称 为速率分布函数;(1)式 的图像就是速率分布曲 线。
exp[mv2/(2kT)]v2dv
=41/2vp-3 exp(v2/vp2)v2dv.
f(v)dv=41/2x2 exp(x2)dx =F(x)dx.
但要特别注意: F(x)=41/2x2exp(x2)
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
类比法是一种在物理学 研究中常用的逻辑推理方 法。使用类比法时,根据 两类对象之间在某些方面 的相似或相同,来推出它 们在其他方面也可能相似 或相同.
为了更精确地描述质点运
动的时间分布情况,令 t
0,此时直方图的上沿由折线
变为光滑连续曲线,而S/t
dS/dt,它当然仍是时间 t
的函数,记为f(t),即
f(t) = dS/dt.
(2)
这就是质点在运动中 所通过的路程对于时间 的分布函数,或者称为 时间分布函数; (2) 式 的图像就是时间分布曲 线。
前已指出,质点在t时 刻附近的t 间隔内运动 的平均速率为S/t,在 dt 间隔内运动的平均速 率(也就是t时刻的瞬时 速率)为dS/dt.
但是我们不应该问在 t 时 刻质点通过了多少路程,因 为质点只有在经历了一定的 时间间隔后才会通过一段路 程;如果非要问在 t 时刻质 点通过了多少路程,那只能 说它通过的路程等于零。
但是,在物理学的教学 中介绍早已被检验证明过 的科学知识时,直接使用 类比推理的方法却是好处 良多的。我们应该通过一 些实例来掌握这种行之有 效的逻辑推理方法。
四、随机事件 与概率
随机现象:有可 能出现多种结果的 现象。
随机事件:随机 现象的每一表现或 结果。
频率:某事件出 现次数对总次数的 比率。
通过以上的讨论可 以看出,热学中的速 率分布曲线与力学中 质点运动的速率-时 间曲线之间存在着颇 为相似的情况。
因此,如果在热学 中学习速率分布函数 时,类比力学中的速 率-时间函数,就能 够比较容易地认识到 其物理意义。
不仅如此,用 f(v) 类比 f(t),还利于正确理解为什 么说 “不应该问速率刚 好等于特定值 v 的分子有 多少个?如果非要这样问, 那这种分子其实一个都没 有。”
概率:某事件频 率在总次数趋于无 限大时的极限。
不可能事件 的概率为零。
必然事件的 概率为一。
概率加法定理: 互不相容(互斥) 事件出现的概率的 和等于出现其中任 一事件的概率。
概率乘法定理: 互相独立事件同时 出现的概率等于各 事件单独出现时概 率的积。
五、麦克斯韦速 率分布曲线出现 极大值的点的轨
麦克斯韦速 率分布函数
及其 约化形式
一、麦克斯韦 速率分布函数
f(v)=4[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2 =4-1/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.
二、麦克斯韦 速率分布函数
的约化形式
令vp=(2kT/m)1/2, x=v/vp.
f(v)dv=41/2[m/(2kT)]3/2
为了描述处于平衡态下的气体 的分子数在不同的速率间隔内的 分布情况,可以取分子速率 v 为 横坐标值,画出速率取值在v至v +v间隔内的分子数 N 占总分 子数 N 的比率的直方图(条形统 计图)。
条形的水平宽度为v, 条形的面积为 N/N,因 此,条形的竖直高度(纵 坐标值)则为N/(Nv). 显然,此高度与条形所在 处速率的取值有关,是 v 的函数。
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