1 2
m(v
2 x

v
2 y
vz2 )
动能，分子速度的函数。
k
dN (vx ,vy ,vz ) e kT dvxdvydvz
速度分布函数：F (v x
,vy
,vz
)

dN (vx ,vy ,vz ) Ndvxdv ydvz

C
k
e kT
常数 C 由归一化条件确定：


v3e
mv2 2kT
dv
0

4π

m 2π kT
3
2
2(m
1 2kT )2

8kT πm
8RT
π
速度平方的平均值 ：
v2

0
v2
fM (v)dv

4π
m 2π kT
3
2

v
4e

mv 2 2kT
dv
0

4π

m 2π kT
3
积内的概率 分子在速度空间分布的概率密度
归一化条件 ：

F (vx ,vy ,vz )dvxdvydvz 1

分子速度 vx、vy、vz 一定出现在 之间
证明：

F(vx ,vy ,vz )dvxdvydvz

dN (vx ,vy ,vz ) N 1
,vy
,vz
)
平衡态系统中分子的速率分布函数：
fM
(v)

4π

m 2π kT
3
2
v2e
mv2 2kT
麦克斯韦速率分布律 实验验证
fM
(v)dv

dN (v) N

fM (v)dv 1
0
分子的最概然速率：
vP
2kT m
2RT

8.5.3 平均速率 方均根速率

415 m s1
v 8kT 469 m s1 πm
v2 3kT 509 m s1 m
相当于子弹从枪口射出的速度！

vP v v2，与 T 成正比，与 m 成反比。
v 用于碰撞和输运过程的统计规律，v2 用于
温度和压强的统计规律。
【例8.8】计算温度为 300K 时，空气分子的最 概然速率、平均速率和方均根速率。
解 空气分子的平均质量 m = 47.98×1027 kg
vP
2kT m
21.381023 300 47.98 10 27
k
1
F (vx ,vy ,vz )dvxdvydvz C
e kT dvxdvydvz


C


e dv dv dv

m
(v
2 x

v
2 y
v
2 z
)
2kT
x yz
C
3


e
m v2x 2kT
dv x

归一化条件： f (v)dv 1
0
2. 麦克斯韦速率分布律
分子在速度空间分布 概率密度为 FM (vx ,vy ,vz )， 分子速率处于球壳内的概 率：
dN (v) N

4πv2dv FM(vx ,vy ,vz )
速率分布函数可写成
fM (v)

dN (v) Ndv

4π v2FM
(vx
x4eax2dx 3
0
8
π a5
8.5.1 麦克斯韦速度分布律 1. 速度分布函数
F (vx
,vy
, vz
)

dN (vx ,vy ,vz ) Ndv xdv y dv z
物理意义： 速度出
现在P(vx,vy,vz)点附近， 单位速度空间体积内
的分子数占系统分子
总数的百分比。
或，一个分子的速度出现在单位速度空间体
m：一个分子的质量
k：玻耳兹曼常量 T：系统的温度 麦克斯韦速度分布律
1859年，麦克斯韦首先用碰撞概率方法导出。
8.5.2 麦克斯韦速率分布律
1. 速率分布函数
f (v) dN (v) Ndv
物理意义：速 率 出 现 在v附近的单位速率区间 的分子数，占系统分子 总数的百分比。
或，一个分子的速率出现在v附近的单位速 率区间的概率 速率分布的概率密度
在温度为T 的平衡态下，fM (v)dv 代表：速率处 于v到v+dv区间的分子数占分子总数的百分比。 在该状态下，物理量W(v)的统计平均值：

W W (v) fM (v)dv
分布函 数的用途
0
分子的平均速率：
v


vfM (v)dv
0

4π

m 2π kT
3
2




3

C


2

e
mv
2 x
2kT
dv
x

,
0



mv
2 x
e 2kT dvx
0

1 2
32
2πkT m
,
C


m 2π kT

平衡态系统中分子的速度分布函数：
FM
(vx
,vy
,vz
)


m 2π kT
3
2
e
mv2 2kT
8.5 麦克斯韦分布律 8.5.1 麦克斯韦速度分布律 8.5.2 麦克斯韦速率分布律 8.5.3 平均速率 方均根速率
高斯积分公式（π
0
2a

xeax2 dx
1
0
2a
x2eax2dx 1
0
4
π a3

0
x 3eax2 dx

1 2a 2

N
N
2. 麦克斯韦速度分布律
•已经导出分子按势能的分布：
p
dN( x, y, z) e kT dxdydz
p p ( x, y, z)：势能，分子空间位置的函数。
•推广到分子按动能的分布：
k
dN (vx ,vy ,vz ) e kT dvxdvydvz
k
2

3 8

3kT
(m 2kT )5 m
分子的方均根速率：
v2 3kT 3RT
m

也可由 t

mv2 2

3 kT 2
导出。
•分子的最概然速率：vP
2kT m
2RT

•分子的平均速率： v 8kT 8RT
πm π
•分子的方均根速率： v2 3kT 3RT
m