代数式的求值技术1、利用分类讨论方法例1 已知x ＝7，y ＝12，求代数式x +y 的值.分析 先利用绝对值的意义，求出字母x 和y 的值，再分情况讨论求值. 解 因为x ＝7，y ＝12，所以x ＝±7，y ＝±12.所以当x ＝7，y ＝12时，原式＝19； 当x ＝－7，y ＝－12时，原式＝－19； 当x ＝7，y ＝－12时，原式＝－5； 当x ＝－7，y ＝12时，原式＝5. 所以代数式x +y 的值±19、±5.技术2、利用数形结合的思想方法例1 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：试试代数式│a +b │－│b －1│－│a －c │－│1－c │的值.分析 由于只知道有理数a ，b ，c 在数轴上的位置，要想直接分别求出有理数a ，b ，c 是不可能的，但是，我们可以利用数形结合的思想方法，从数轴上发现有理数a ，b ，c 的符号，还可以准确地判定a +b 、b －1、a －c 、1－c 的符号，这样就可以化去代数式中的绝对值的符号.解 由图可知，a +b ＜0，b －1＜0，a －c ＜0，1－c ＞0，所以│a +b │－│b －1│－│a －c │－│1－c │＝－a －b －1+b －c +a －1+c ＝－2. 技术3、利用非负数的性质例1 已知(a －3)2+│－b +5│+│c －2│＝0.计算2a +b +c 的值.分析 在等式(a －3)2+│－b +5│+│c －2│＝0中有三个字母，要想分别求其值，可以利用平方和绝对值的非负性求解.解 因为(a －3)2+│－b +5│+│c －2│＝0，又(a －3)2≥0，│－b +5│≥0，│c －2│≥0.所以a －3＝0，－b +5＝0，c －2＝0，即a ＝3，b ＝5，c ＝2， 所以当a ＝3，b ＝5，c ＝2时，原式＝2×3+5+2＝13.例2 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求baa b +之值。

[解] ∵a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=(a 2b 2-2ab+1)(a 2-2ab+b 2) =(ab-1)2+(a-b)2则有(ab-1)2+(a-b)2=0∴⎩⎨⎧==-.1,0ab b a解得⎩⎨⎧==;1,1b a⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，baa b +=1+1=2 b a c 1当a=-1，b=-1时，baa b +=1+1=2 技术4、利用新定义例1 用“★”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝b 2+1.例如，7★4＝42+1＝17，那么5★3＝＿＿＿；当m 为实数时，m ★(m ★2)＝＿＿＿.分析 由新定义的意义可知，运算的结果等于后一个数的平方加1，对于第二个小填空题，只要先做括号里即可.解 因为a ★b ＝b 2+1，所以5★3＝32+1＝10；m ★(m ★2)＝m ★(22+1)＝m ★5＝52+1＝26.故应分别填上10、26.技术5、利用整数的意义例1 四个互不相等的整数a 、b 、c 、d ，如果abcd ＝9，那么a +b +c +d ＝（ ） A.0 B.8 C.4 D.不能确定分析 抓住a 、b 、c 、d 是四个互不相等的整数，且abcd ＝9，进行必要的推理，分别求出a 、b 、c 、d 的值，即可求解.解 因为a 、b 、c 、d 是四个互不相等的整数，且abcd ＝9，所以a 、b 、c 、d 只可以是+1、－1、+3、－3中的一个数，所以a +b +c +d ＝0.故应选A . 技术6、巧用变形降次例1 已知x 2－x －1＝0，试求代数式－x 3+2x +2008的值.分析 考虑待求式有3次方，而已知则可变形为x 2＝x +1，这样由乘法的分配律可将x 3写成x 2x ＝x (x +1)＝x 2+x ，这样就可以将3次降为2降，再进一步变形即可求解.解 因为x 2－x －1＝0，所以x 2＝x +1， 所以－x 3+2x +2008＝－x 2x +2x +2008 ＝－x (x +1)+2x +2008 ＝－x 2－x +2x +2008 ＝－x 2+x +2008＝－(x 2－x －1)+2007 ＝2007.技巧7. 整体代入法当单个字母的取值未知的情况下，可借助“整体代入”求代数式的值。

【例1】（1）已知223257963x y x y -+=--，求的值. （2）已知23(2)25(2)3223(2)2m n m n m n m n m n m n m n m n---+=--+++-，求的值. 解析：求代数式的值，一般直接将字母的具体值代入，但该题x y m n 、、、都无具体的值，一般采用整体代入法，观察已知与所求，进行对比分析，通过共同点与不同点来寻找解题方法.解：（1）223257322x y x y -+=∴-=∴ ，，原式=3（232x y -）-3=3×2-3=3.（2）232m n m n -=+，2123m n m n +∴=∴-，原式=11519333591.3333⨯-⨯-⨯=--= 方法技巧：整式化的思想，在解题中，有时起到化难为易，化繁为简的作用.【例2】当abc=1时，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值. 解析：当abc=1时，原式方法技巧：分析代数式的特点，寻找解题问题的突破口.【例3】已知a+b+c=0,求代数式3b c a c a ba b c++++++的值.解析：因为a+b+c=0,而代数式中没有a+b+c.想办法凑出这个式子是解题的关键；也可以变形为b+c= -a.从而1b ca+=-解法1：当a+b+c=0时，原式解法2：当a+b+c=0时，原式解法3：当a+b+c=0时，则有a+b= -c ，b+c= -a ，a+c= -b. 所以 原式例4已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ）.A ．6B ．－6C ．215D ．27-解：由114a b -=得，4b aab-=，即4a b ab -=-.∴()()2242662272787a b ab a ab bab ab ab a b ab a b ab ab ab ab-------====-+-+-+-.故选A.11111111.a b bcab a abc bc b abc bc bb bc b bc bc b bc bb bc b bc=++++++++=++++++++++=++=3111311130.b c a a a c b b a b c ca b ca b c a b c a b ca b c++-++-++-=+++++++++=-+-+-+=---+=1110000.b c a c a ba b cb c a a c b a b ca b c a b c +++=+++++++++++=++=++=311130.a b ca b c---=+++=---+=例5若1233215,7x y z x y z ++=++=，则111x y z++= .解：把1235x y z ++=与3217x y z ++=两式相加得，44412x y z ++=，即111412x y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，化简得，1113x y z ++=.故填3.方法技巧：数学思想是数学的灵魂，整体化的思想，在初中数学中起着十分重要的作用，在以后的学习中，时刻留神，你会得到意想不到的效果. 技巧8. 参数代入当题目所给的字母较多时，可以利用它们的关系，选定一个字母作为已知字母，其他字母都用含这个字母的的代数式来表示，再代入求值.例1已知234a b c ==，求523a b ca b c+--+的值.解析：题目中没有明确给出a 、b 、c 的具体数值，只有它们之间的比值关系，不妨引入参数k ，设234a b c===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ，然如代入求值.解：设234a b c===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k.则 原式方法技巧：本题也可视a(或b 或c)为已知字母，则322b ac a ==，，再代入求值，不妨请你动笔试一试.技术9：比值求值法比值求值法是指已知条件中等式的个数少于所含字母的个数时，通过方程(组)将已知条件中所含字母的比值求出，从而求出代数式的值。

例1 设a+2b-5c=0，2a-3b+4c=0(c ≠0)，求222222456323c b a c b a +-++的值。

[解] 把已知等式看作关于a ，b 的方程组c b c a c b a c b a 2,0432052==⎩⎨⎧=+-=-+解得 ∵c ≠0 ∴a ：b ：c=1：2：12534223341313.k k kk k kkk +⨯-=⨯-⨯+=-=-设a=k, 则b=2k , c=k.∴222222456323c b a c b a +-++=-57例2已知a=2b ，c=5a(a 0≠)，求代数式624a b ca b c+--+的值.给出的条件中无具体值，但给出了a 、b 、c 之间的关系，我们可以用同一个字母来表示其它各个字母，然后约分.解法1：解法2：方法技巧：这种代换的方法是一种常用的数学解题技巧，应熟练掌握. 技术10、倒数法倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法.例1：若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为（ ）.A ．1B ．－1C ．－17D ．15解：由2212374y y =++，取倒数得，223742y y ++=，即2231y y +=. 所以()2246122312111y y y y +-=+-=⨯-=，即211461y y =+-.故选A.例2 已知2311222--=-x x ，求)1()1111(2x x xx x +-÷+--的值。

[解] 由已知，得231222--=-x x 255(2)10.210626221041.4241082a b c a c b b a b c b a b c b b b b a b c b b b b ==∴=⨯===+-⨯+-====-+-+ ，，把，代入原代数式，得原式22562562212.4422452aa b c a a a aa b c a a a b c a a =∴=+⨯-+-∴====-+-⨯+ ，b=，又，原式所以，231212--=-x 则2322--=-x)1()1111(2x x x x x +-÷+-- =2321122322--=-=-∙-xx x x x 技术11、主元代换法所谓主元法就是把条件等式中某一个未知数（元）视为常数，解出其余未知数（主元），再代入求值的一种方法.例1 已知a=2b ，c=3a ，求a 2+32b 2－c 2+3的值。